物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
a = ?s = 1100 m

一架飞机起飞需要 280 km/h 的速度，可用跑道长 1100 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 280 km/hs = 1100 m
a = m/s²
2.运动学困难
v₀ = 14 m/s40 m

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 14 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 14 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
θ = 25°a = ?m = 10 kg

一个 10 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 10 kgθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 5 kg5 kgμ = 0.2

水平桌面上一个 5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 5 kgm2 = 5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = 32 m/s50°射程H = ?

一个球 从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v0 = 32 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²
H = m
6.抛体运动困难
h = 25 mv0​ = 13 m/s40°x = ?

一个球 从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 13 m/sθ = 40°h = 25 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.圆周运动中等
r = 120 mvmax​ = ?

一辆汽车通过半径为 120 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 vmax。

r = 120 mμs = 0.4g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.圆周运动困难
r = 0.9 mv = 4.5 m/s

一个 0.5 kg 的小球系在长 0.9 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.5 kgr = 0.9 mv = 4.5 m/sg = 9.81 m/s²
T = N
9.功和能中等
0.25 kgk = 1500 N/mh = ?

一个玩具发射器有一根刚度为 1500 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.25 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 6 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.25 kgk = 1500 N/mx = 6 cmg = 9.81 m/s²
h = m
10.功和能困难
4 kg3 kgμ = 0.4d = 1.5 m

一个 4 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.4）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 3 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 1.5 m 后两物块的速度 v。

m1 = 4 kgm2 = 3 kgμ = 0.4d = 1.5 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
11.动量与碰撞中等
4 kg9 m/s1.5 kg

在无摩擦的导轨上，一个以 9 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第一个滑块的速度 v′1（以其原运动方向为正）。

m1 = 4 kgm2 = 1.5 kgv1 = 9 m/sv2 = 0
v′1 = m/s
12.动量与碰撞困难
1500 kg19 m/s1800 kg19 m/sθ = ?

在一个十字路口，一辆以 19 m/s 向东行驶的 1500 kg 汽车与一辆以 19 m/s 向北行驶的 1800 kg 汽车相撞。两车卡在一起。 求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m1 = 1500 kgv1 = 19 m/s (E)m2 = 1800 kgv2 = 19 m/s (N)
θ = °
13.弹簧与单摆中等
L = ?

要使单摆的周期为 0.8 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 0.8 sg = 9.81 m/s²
L = m
14.弹簧与单摆困难
mk = 300 N/mA = 11 cmx = 8 cm

一个连在 k = 300 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 11 cm 的振幅振动。 求它距平衡位置 8 cm 时的动能 K。

k = 300 N/mA = 11 cmx = 8 cm
K = J
15.波、声与光学中等
48.8°90°n1​ = ?甘油, n2​ = 1.47

对于入射角大于 48.8° 的每一个角度，透明块内的光在与甘油（n = 1.47）的界面上都发生全反射。求该透明块的折射率 n1。

θc = 48.8°n2 = 1.47
n1 =
16.波、声与光学困难
λ = 633 nmθ1​ = ?

波长为 633 nm 的光垂直照射在每毫米 400 条刻线的光栅上。求第 1 级极大的角度 θ1。

N = 400 mm⁻¹λ = 633 nmm = 1
θ1 = °

3溶液

1.运动学

答案: a = 2.75 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 280/3.6 = 77.78 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 77.78²/(2·1100) = 2.75 m/s²

答案

a = 2.75 m/s²
2.运动学

答案: t = 4.62 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−40 = 14·t − ½·9.81·t²
4.905·t² − 14·t − 40 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (14 + √(14² + 2·9.81·40))/9.81 = 4.62 s

答案

t = 4.62 s
3.牛顿定律

答案: a = 1.923 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.25·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2266) = 1.923 m/s²

答案

a = 1.923 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 29.43 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (49.05 − 9.81)/10 = 3.924 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 5·3.924 + 9.81 = 29.43 N

答案

T = 29.43 N
5.抛体运动

答案: H = 30.63 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 32·cos 50° = 20.57 m/s
vy = v0·sin θ = 32·sin 50° = 24.51 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：vy² = 2gH。

H = vy²/(2g) = 24.51²/(2·9.81) = 30.63 m

答案

H = 30.63 m
6.抛体运动

答案: x = 32.51 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 13·cos 40° = 9.959 m/s
vy = v0·sin θ = 13·sin 40° = 8.356 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 8.356·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (8.356 + √(69.83 + 490.5))/9.81 = 3.265 s

水平距离

x = vx·t = 9.959·3.265 = 32.51 m

答案

x = 32.51 m
7.圆周运动

答案: vmax = 21.7 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·120) = 21.7 m/s

答案

vmax = 21.7 m/s (78.12 km/h)
8.圆周运动

答案: T = 16.16 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r
T = 0.5·9.81 + 0.5·4.5²/0.9 = 4.905 + 11.25 = 16.16 N

答案

T = 16.16 N
9.功和能

答案: h = 1.101 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 6 cm = 0.06 m
½kx² = ½·1500·0.06² = 2.7 J

高度

m·g = 0.25·9.81 = 2.453 N
h = ½kx²/(mg) = 2.7/2.453 = 1.101 m

答案

h = 1.101 m
10.功和能

答案: v = 2.426 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 29.43·1.5 = 44.14 J
μ·m₁g·d = 0.4·39.24·1.5 = 23.54 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 20.6 → v = √(2·20.6/7) = 2.426 m/s

答案

v = 2.426 m/s
11.动量与碰撞

答案: v′1 = 4.091 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′1 = (4 − 1.5)/(4 + 1.5)·9 = 4.091 m/s
v′2 = 2·4/(4 + 1.5)·9 = 13.09 m/s

答案

v′1 = 4.091 m/s
12.动量与碰撞

答案: θ = 50.19 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

动量分量

px = 1500·19 = 28500 kg·m/s
py = 1800·19 = 34200 kg·m/s

方向

tan θ = py/px = 1.2 → θ = 50.19°

答案

θ = 50.19°
13.弹簧与单摆

答案: L = 0.159 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(0.8/2π)² = 0.159 m

答案

L = 0.159 m
14.弹簧与单摆

答案: K = 0.855 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

总能量

E = ½·k·A² = ½·300·0.11² = 1.815 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·300·0.08² = 0.96 J

动能

K = 1.815 − 0.96 = 0.855 J

答案

K = 0.855 J
15.波、声与光学

答案: n1 = 1.954

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

透明块的折射率

n₁ = n₂/sin θc = 1.47/0.7524 = 1.954

答案

n1 = 1.954
16.波、声与光学

答案: θ1 = 14.67 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/400 mm = 2.5 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 1·633 × 10⁻⁹/(2.5 × 10⁻⁶) = 0.2532
θ = 14.67°

答案

θ1 = 14.67°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics