物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 2.25 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1500 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 2.25 m/s²s = 1500 m

v = m/s

2.运动学困难

球 A 从 20 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 24 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 20 mv_0B = 24 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个箱子以 8.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 25 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 8.5 m/sd = 25 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 4 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 38 m/s、与水平方向成 40° 的角度朝 101 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 38 m/sθ = 40°x = 101 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 36 m/s、与水平方向成 30° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 6 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 36 m/sθ = 30°h_roof = 6 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 80 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 80 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 2 kg 的小球系在长 0.7 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 7.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 2 kgr = 0.7 mv = 7.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 10 kg 的球挂在长 3 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 50°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 10 kgL = 3 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 10 kgh = 2 mL = 1 mμ = 0.3k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 9 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 3 kgh = 9 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.15 kg 的小球以 28 m/s 撞到墙上，并以 10 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.15 kgv_in = 28 m/sv_out = 10 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.7 m 的单摆在小幅摆动时周期为 1.57 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.7 mT = 1.57 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个 3.3 kg 的物体连在 k = 480 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 12 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 3.3 kgk = 480 N/mA = 12 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 30 cm 的薄发散透镜前 20 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 20 cmf = −30 cm

m =

16.波、声与光学困难

用单色光照射相距 0.4 mm 的两条缝。在 1.5 m 外的屏上，第 1 条亮条纹距中央条纹 2.25 mm。求波长 λ。

d = 0.4 mmL = 1.5 my₁ = 2.25 mmm = 1

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: v = 82.16 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·2.25·1500) = 82.16 m/s

答案

v = 82.16 m/s

(295.8 km/h)

2.运动学

答案: t = 0.8333 s

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

20 − ½g·t² = 24·t − ½g·t² → t = 20/24 = 0.8333 s

答案

t = 0.8333 s

3.牛顿定律

答案: μ = 0.1473

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 8.5²/(2·25) = 1.445 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.445/9.81 = 0.1473

答案

μ = 0.1473

4.牛顿定律

答案: a = 4.578 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 7.848)/9 = 4.578 m/s²

答案

a = 4.578 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 25.7 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 38·cos 40° = 29.11 m/s

t = x/v_x = 101/29.11 = 3.47 s

此时的高度

y = 24.43·3.47 − ½·9.81·3.47² = 25.7 m

答案

y = 25.7 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: x = 102.9 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 31.18 m/s, v_y = 18 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

6 = 18·t − 4.905·t²

t = (18 + √(18² − 2·9.81·6))/9.81 = 3.299 s

水平距离

x = v_x·t = 31.18·3.299 = 102.9 m

答案

x = 102.9 m

7.圆周运动

答案: v_max = 19.81 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·80) = 19.81 m/s

答案

v_max = 19.81 m/s (71.31 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 180.3 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9.81 + 2·7.5²/0.7 = 19.62 + 160.7 = 180.3 N

答案

T = 180.3 N

9.功和能

答案: T = 168.2 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 50°) = 21.03 m²/s²

最低点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

T = mg + mv²/L = 98.1 + 10·21.03/3 = 168.2 N

答案

T = 168.2 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 168.2 N。

10.功和能

答案: x = 64.57 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(2 − 0.3·1) = 166.8 J

最大压缩量

½kx² = 166.8 → x = √(2·166.8/800) = 0.6457 m = 64.57 cm

答案

x = 64.57 cm

11.动量与碰撞

答案: v = 200.7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.09) = 1.329 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 3)·1.329/0.02 = 200.7 m/s

答案

v = 200.7 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 5.7 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.15·(10 + 28) = 5.7 N·s

答案

J = 5.7 N·s

13.弹簧与单摆

答案: g = 11.21 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.7/1.57² = 11.21 m/s²

答案

g = 11.21 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.447 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(480/3.3) = 12.06 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.12·12.06 = 1.447 m/s

答案

v_max = 1.447 m/s

15.波、声与光学

答案: m = 0.6

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−30) − 1/20

d_i = −12 cm

放大率

m = −d_i/d_o = −(−12)/20 = 0.6

答案

m = 0.6

16.波、声与光学

答案: λ = 600 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = y·d/(mL) = 0.00225·0.0004/(1·1.5) = 6 × 10⁻⁷ m = 600 nm

答案

λ = 600 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics