物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 19 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 2.5 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 19 m/sa_police = 2.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 3.6 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 3.6 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

质量为 4.5 kg 和 3.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 3.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 5.5 m/s 的速度开始沿 20° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 5.5 m/sθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 14 m/s、与水平方向成 35° 的角度朝 8 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 14 m/sθ = 35°x = 8 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 45 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 11 m/sθ = 20°h = 45 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 3 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 3 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一辆 1.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 9 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 2.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 N_top。

m = 1.5 kgh = 9 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.功和能中等

一个 10 kg 的球挂在长 2 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 50°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 10 kgL = 2 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

在 35° 斜坡底部有一根刚度为 800 N/m 的弹簧，它顶着一个 1 kg 的物块被压缩 15 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.25。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 1 kgk = 800 N/mx = 15 cmθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

一辆以 22 m/s 行驶的 1500 kg 汽车撞上一辆静止的 2000 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 1500 kgv₁ = 22 m/sm₂ = 2000 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 10 m/s 向东行驶的 1900 kg 汽车与一辆以 19 m/s 向北行驶的 1000 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1900 kgv₁ = 10 m/s (E)m₂ = 1000 kgv₂ = 19 m/s (N)

v′ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 260 N/m 弹簧上的 3.2 kg 物体被沿正方向拉开 4 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.45 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 3.2 kgk = 260 N/mA = 4 cmt = 0.45 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

把一个 1.1 kg 的物体挂在一根 k = 220 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求弹簧的最大伸长量 x_max，以 cm 表示。

m = 1.1 kgk = 220 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

15.波、声与光学中等

一台机器在某点产生 75 dB 的声级。当 10 台相同的机器同时运行时（非相干声源），求该点的声级 β。

β₁ = 75 dBn = 10

β = dB

16.波、声与光学困难

一根光纤的纤芯 n₁ = 1.5，包层 n₂ = 1.49。求它的数值孔径 NA。

n₁ = 1.5n₂ = 1.49

NA =

3溶液

1.运动学

答案: d = 288.8 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·19/2.5 = 15.2 s

距离

d = v·t = 19·15.2 = 288.8 m

答案

d = 288.8 m

此时警车的速度为 2v = 38 m/s。

2.运动学

答案: d = 57.76 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.6 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1235 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1235))/(2·4.905) = 3.432 s

深度

d = ½·9.81·3.432² = 57.76 m

答案

d = 57.76 m

3.牛顿定律

答案: T = 38.63 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (4.5 − 3.5)·9.81/(4.5 + 3.5) = 1.226 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 3.5·(9.81 + 1.226) = 38.63 N

答案

T = 38.63 N

4.牛顿定律

答案: d = 3.536 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 20° + 0.1·cos 20°) = 4.277 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 5.5²/(2·4.277) = 3.536 m

答案

d = 3.536 m

5.抛体运动

答案: y = 3.215 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 14·cos 35° = 11.47 m/s

t = x/v_x = 8/11.47 = 0.6976 s

此时的高度

y = 8.03·0.6976 − ½·9.81·0.6976² = 3.215 m

答案

y = 3.215 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: t = 3.437 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 20° = 10.34 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 20° = 3.762 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 45 + 3.762·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (3.762 + √(14.15 + 882.9))/9.81 = 3.437 s

答案

t = 3.437 s

7.圆周运动

答案: ω = 3.302 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.3·3)) = 3.302 rad/s

答案

ω = 3.302 rad/s

8.圆周运动

答案: N_top = 32.37 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·(9 − 2·2.5) = 78.48 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R − m·g = 1.5·78.48/2.5 − 14.71 = 32.37 N

答案

N_top = 32.37 N

9.功和能

答案: T = 168.2 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·2·(1 − cos 50°) = 14.02 m²/s²

最低点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

T = mg + mv²/L = 98.1 + 10·14.02/2 = 168.2 N

答案

T = 168.2 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 168.2 N。

10.功和能

答案: d = 1.179 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·800·0.15² = 9 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 9/(9.81·(0.5736 + 0.25·0.8192)) = 1.179 m

答案

d = 1.179 m

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 57.14 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1500·22/3500 = 9.429 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1500·22² = 363000 J

K_after = ½·3500·9.429² = 155571 J

损失的比例

ΔK/K = 207429/363000 = 57.14 %

答案

ΔK/K = 57.14 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v′ = 9.266 m/s

动量分量

p_x = 1900·10 = 19000 kg·m/s

p_y = 1000·19 = 19000 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 26870/2900 = 9.266 m/s

答案

v′ = 9.266 m/s

13.弹簧与单摆

答案: x = −2.44 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(260/3.2) = 9.014 rad/s

ω·t = 9.014·0.45 = 4.056 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 4·cos(4.056) = −2.44 cm

答案

x = −2.44 cm

14.弹簧与单摆

答案: x_max = 9.81 cm

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 1.1·9.81/220 = 0.04905 m = A

最低点

x_max = 2A = 0.0981 m = 9.81 cm

答案

x_max = 9.81 cm

15.波、声与光学

答案: β = 85 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

总强度

I = 10·I₁

难度

β = 75 + 10·log₁₀(10) = 85 dB

答案

β = 85 dB

16.波、声与光学

答案: NA = 0.1729

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

包层处的临界角

sin θc = 1.49/1.5 = 0.9933 → θc = 83.38°

数值孔径

NA = √(1.5² − 1.49²) = 0.1729

答案

NA = 0.1729

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