物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)4.444 s22.22

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 求制动距离 s。

v₀ = 80 km/ha = −5 m/s²v = 0
s = m
2.运动学困难
a = 40 m/s²

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 40 m/s² 的恒定向上加速度，持续 1.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求火箭达到的最大高度 hmax。

a = 40 m/s²t1 = 1.5 sg = 9.81 m/s²
hmax = m
3.牛顿定律中等
15 kg40°F = 90 Nμ = 0.1

一个 15 kg 的雪橇被一根与水平方向成 40° 向上的绳子以 90 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 15 kgF = 90 Nθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 1.5 kg2.5 kgμ = 0.1

水平桌面上一个 1.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 1.5 kgm2 = 2.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = 24 m/s35°x = ?

一个球 从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 24 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²
x = m
6.抛体运动困难
h = 30 mv0​ = 14 m/s55°x = ?

一个球 从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 14 m/sθ = 55°h = 30 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.圆周运动中等
r = 100 mvmax​ = ?

一辆汽车通过半径为 100 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 vmax。

r = 100 mμs = 0.4g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.圆周运动困难
r = 1.5 mv = ?

一个小球系在长 1.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 vmin 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.5 mg = 9.81 m/s²
vmin = m/s
9.功和能中等
45°L = 1.5 m2 kg

一个 2 kg 的球挂在长 1.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 45°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 2 kgL = 1.5 mθ = 45°g = 9.81 m/s²
T = N
10.功和能困难
h = 7.5 mR = 2.5 mv = ?

一辆 5 kg 的小车从光滑轨道上 7.5 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2.5 m 的竖直圆环。 求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 5 kgh = 7.5 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
11.动量与碰撞中等
3 kg85 m/s2 kgv′2​ = ?

一个以 31 m/s 水平运动的 5 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。3 kg 的碎片以 85 m/s 继续向前运动。求 2 kg 碎片的速度 v′2（以原运动方向为正）。

M = 5 kgu = 31 m/sm1 = 3 kgv′1 = 85 m/sm2 = 2 kg
v′2 = m/s
12.动量与碰撞困难
19 m/s4 m/s

一个 0.55 kg 的小球以 19 m/s 撞到墙上，并以 4 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。

m = 0.55 kgvin = 19 m/svout = 4 m/sΔt = 25 ms
Favg = N
13.弹簧与单摆中等
L = 2.7 m

一个单摆的摆长为 2.7 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.7 mg = 9.81 m/s²
T = s
14.弹簧与单摆困难
2.2 kgk = 100 N/mA = 15 cm

一个 2.2 kg 的物体连在 k = 100 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 15 cm 后释放。 求它的最大速度 vmax。

m = 2.2 kgk = 100 N/mA = 15 cm
vmax = m/s
15.波、声与光学中等
L = 0.65 mn = 3

一端封闭的管长 0.65 m。声速为 343 m/s。求其第 3 次谐波的频率 f3。

v = 343 m/sn = 3L = 0.65 m
f3 = Hz
16.波、声与光学困难
f1​ = 10 cmf2​ = 20 cm50 cm25 cm

两个薄透镜共轴，相距 25 cm：透镜 1 的 f₁ = 10 cm，透镜 2 的 f₂ = 20 cm。一个物体位于透镜 1 前 50 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 di2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f1 = 10 cmf2 = 20 cms = 25 cmdo = 50 cm
di2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 49.38 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·5) = 49.38 m

答案

s = 49.38 m
2.运动学

答案: hmax = 228.5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

动力阶段

v₁ = 40·1.5 = 60 m/s
h₁ = ½·40·1.5² = 45 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 60²/(2·9.81) = 183.5 m
hmax = 45 + 183.5 = 228.5 m

答案

hmax = 228.5 m
3.牛顿定律

答案: a = 4.001 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 147.2 − 90·sin 40° = 89.3 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 68.94 − 8.93
a = 60.01/15 = 4.001 m/s²

答案

a = 4.001 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 10.12 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (24.53 − 1.472)/4 = 5.763 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 1.5·5.763 + 1.472 = 10.12 N

答案

T = 10.12 N
5.抛体运动

答案: x = 55.17 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 24·cos 35° = 19.66 m/s
vy = v0·sin θ = 24·sin 35° = 13.77 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2vy/g。

t = 2·13.77/9.81 = 2.806 s

水平距离

x = vx·t = 19.66·2.806 = 55.17 m

答案

x = 55.17 m
6.抛体运动

答案: x = 31.35 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 14·cos 55° = 8.03 m/s
vy = v0·sin θ = 14·sin 55° = 11.47 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 11.47·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (11.47 + √(131.5 + 588.6))/9.81 = 3.904 s

水平距离

x = vx·t = 8.03·3.904 = 31.35 m

答案

x = 31.35 m
7.圆周运动

答案: vmax = 19.81 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·100) = 19.81 m/s

答案

vmax = 19.81 m/s (71.31 km/h)
8.圆周运动

答案: vmin = 3.836 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.5) = 3.836 m/s

答案

vmin = 3.836 m/s
9.功和能

答案: T = 31.11 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1.5·(1 − cos 45°) = 8.62 m²/s²

最低点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N
T = mg + mv²/L = 19.62 + 2·8.62/1.5 = 31.11 N

答案

T = 31.11 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 31.11 N。

10.功和能

答案: v = 7.004 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(7.5 − 5) = 49.05 m²/s²
v = 7.004 m/s

答案

v = 7.004 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′2 = −50 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 5·31 = 155 kg·m/s

碰撞后的动量

155 = 3·85 + 2·v′2
v′2 = (155 − 255)/2 = −50 m/s

答案

v′2 = −50 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: Favg = 506 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(4 + 19) = 12.65 N·s

平均作用力

Favg = J/Δt = 12.65/0.025 = 506 N

答案

Favg = 506 N
13.弹簧与单摆

答案: T = 3.296 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.7/9.81) = 3.296 s

答案

T = 3.296 s
14.弹簧与单摆

答案: vmax = 1.011 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(100/2.2) = 6.742 rad/s

最大速度

vmax = A·ω = 0.15·6.742 = 1.011 m/s

答案

vmax = 1.011 m/s
15.波、声与光学

答案: f3 = 395.8 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·0.65/3 = 0.8667 m

频率

f = v/λ = 343/0.8667 = 395.8 Hz

答案

f3 = 395.8 Hz
16.波、声与光学

答案: di2 = −33.33 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/di1 = 1/10 − 1/50 → di1 = 12.5 cm

透镜 2 的物

do2 = 25 − 12.5 = 12.5 cm

最终的像

1/di2 = 1/20 − 1/12.5 → di2 = −33.33 cm

答案

di2 = −33.33 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics