物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 15 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 3.5 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 15 m/sa_police = 3.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 20 m 高的屋顶边缘以 12 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 12 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 6 kg 和 4.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 6 kgm₂ = 4.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。桌面光滑。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 40 m/s、与水平方向成 65° 的角度朝 25 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 40 m/sθ = 65°x = 25 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 14 m/sθ = 55°h = 30 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个系在长 0.5 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 20° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求转一圈所需的时间 T。

L = 0.5 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

T = s

8.圆周运动困难

一个 1.9 kg 的小球系在长 1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 3.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.9 kgr = 1 mv = 3.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 4 kg 的物块沿倾角 30° 的斜面下滑 14 m，动摩擦因数为 0.4。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 4 kgθ = 30°μ = 0.4d = 14 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 4000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 3 mL = 3.5 mμ = 0.2k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 2.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 18 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 2.5 kgh = 18 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1700 kg 的汽车撞上一辆停放的 1900 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 10.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1700 kgm₂ = 1900 kgd = 10.5 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 3 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 3 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个 2 kg 的物体连在 k = 360 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 14 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 2 kgk = 360 N/mA = 14 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

一端封闭的管的第 5 次谐波必须为 536 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。

v = 343 m/sn = 5f₅ = 536 Hz

L = m

16.波、声与光学困难

用单色光照射相距 0.4 mm 的两条缝。在 2.5 m 外的屏上，第 2 条亮条纹距中央条纹 6.875 mm。求波长 λ。

d = 0.4 mmL = 2.5 my₂ = 6.875 mmm = 2

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: t = 8.571 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·15/3.5 = 8.571 s

答案

t = 8.571 s

此时警车的速度为 2v = 30 m/s。

2.运动学

答案: t = 3.584 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−20 = 12·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 12·t − 20 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (12 + √(12² + 2·9.81·20))/9.81 = 3.584 s

答案

t = 3.584 s

3.牛顿定律

答案: T = 50.45 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (6 − 4.5)·9.81/(6 + 4.5) = 1.401 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 4.5·(9.81 + 1.401) = 50.45 N

答案

T = 50.45 N

4.牛顿定律

答案: T = 17.31 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 0)/8.5 = 6.925 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2.5·6.925 + 0 = 17.31 N

答案

T = 17.31 N

5.抛体运动

答案: y = 42.89 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 40·cos 65° = 16.9 m/s

t = x/v_x = 25/16.9 = 1.479 s

此时的高度

y = 36.25·1.479 − ½·9.81·1.479² = 42.89 m

答案

y = 42.89 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: x = 31.35 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 55° = 8.03 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 55° = 11.47 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 11.47·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (11.47 + √(131.5 + 588.6))/9.81 = 3.904 s

水平距离

x = v_x·t = 8.03·3.904 = 31.35 m

答案

x = 31.35 m

7.圆周运动

答案: T = 1.375 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 0.5·sin 20° = 0.171 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.171·9.81·tan 20°) = 0.7814 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.171/0.7814 = 1.375 s

答案

T = 1.375 s

8.圆周运动

答案: T = 41.91 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.9·9.81 + 1.9·3.5²/1 = 18.64 + 23.27 = 41.91 N

答案

T = 41.91 N

9.功和能

答案: W_f = 190.3 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 39.24·0.866 = 33.98 N

F = μN = 0.4·33.98 = 13.59 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 13.59·14 = 190.3 J

答案

W_f = 190.3 J

10.功和能

答案: x = 21.24 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(3 − 0.2·3.5) = 90.25 J

最大压缩量

½kx² = 90.25 → x = √(2·90.25/4000) = 0.2124 m = 21.24 cm

答案

x = 21.24 cm

11.动量与碰撞

答案: v = 236.8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.18) = 1.879 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 2.5)·1.879/0.02 = 236.8 m/s

答案

v = 236.8 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 21.49 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·10.5) = 10.15 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3600·10.15/1700 = 21.49 m/s

答案

v₁ = 21.49 m/s

(77.37 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: L = 2.236 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(3/2π)² = 2.236 m

答案

L = 2.236 m

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 25.2 m/s²

角频率

ω = √(360/2) = 13.42 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.14·13.42² = 25.2 m/s²

答案

a_max = 25.2 m/s²

15.波、声与光学

答案: L = 0.7999 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 343/536 = 0.6399 m

长度

L = nλ/4 = 5·0.6399/4 = 0.7999 m

答案

L = 0.7999 m

16.波、声与光学

答案: λ = 550 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = y·d/(mL) = 0.006875·0.0004/(2·2.5) = 5.5 × 10⁻⁷ m = 550 nm

答案

λ = 550 nm

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