物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 220 km/h 的速度，可用跑道长 900 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 220 km/hs = 900 m

a = m/s²

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 28 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2.5 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。发射后多长时间它落到地面？求 t。

a = 28 m/s²t₁ = 2.5 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 10 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 8.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 5 kgm₂ = 8.5 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 34 m/s、与水平方向成 40° 的角度朝 23 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 34 m/sθ = 40°x = 23 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 12 m/sθ = 60°h = 40 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 3.8 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 3.8 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一个 0.9 kg 的球系在长 0.9 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 11 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.9 kgr = 0.9 mv_bottom = 11 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一辆 2000 kg 的汽车以恒定的 90 km/h 驶上 6° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 200 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 2000 kgθ = 6°F_r = 200 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.1）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 5 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 1.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.1d = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 24 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 3.5 kgh = 24 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用长 1.3 m 的轻绳悬挂的 2 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 30°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 2 kgL = 1.3 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 60 N/m 弹簧上的 0.9 kg 物体被沿正方向拉开 5 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 1.4 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 0.9 kgk = 60 N/mA = 5 cmt = 1.4 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

一个 0.9 kg 的物体连在 k = 160 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 11 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 0.9 kgk = 160 N/mA = 11 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 10 cm 的薄发散透镜前 25 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 25 cmf = −10 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

波长为 550 nm 的光垂直照射在每毫米 1200 条刻线的光栅上。求第 1 级极大的角度 θ₁。

N = 1200 mm⁻¹λ = 550 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: a = 2.075 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 220/3.6 = 61.11 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 61.11²/(2·900) = 2.075 m/s²

答案

a = 2.075 m/s²

2.运动学

答案: t = 17.93 s

动力阶段

v₁ = 28·2.5 = 70 m/s

h₁ = ½·28·2.5² = 87.5 m

落回地面的自由飞行

解 −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂²，取正根。

t₂ = (70 + √(70² + 2·9.81·87.5))/9.81 = 15.43 s

t = 2.5 + 15.43 = 17.93 s

答案

t = 17.93 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.055 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.1·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.0866) = 4.055 m/s²

答案

a = 4.055 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 4.045 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 83.39 N

m₁·g·sin θ = 24.52 N

μ·m₁·g·cos θ = 4.248 N

系统的加速度

a = (83.39 − 24.52 − 4.248)/13.5 = 4.045 m/s²

答案

a = 4.045 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 15.47 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 34·cos 40° = 26.05 m/s

t = x/v_x = 23/26.05 = 0.8831 s

此时的高度

y = 21.85·0.8831 − ½·9.81·0.8831² = 15.47 m

答案

y = 15.47 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: x = 24.63 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 60° = 6 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 60° = 10.39 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 40 + 10.39·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.39 + √(108 + 784.8))/9.81 = 4.105 s

水平距离

x = v_x·t = 6·4.105 = 24.63 m

答案

x = 24.63 m

7.圆周运动

答案: ω = 1.92 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.7·3.8)) = 1.92 rad/s

答案

ω = 1.92 rad/s

8.圆周运动

答案: T_top = 76.85 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 11² − 4·9.81·0.9 = 85.68 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.9·85.68/0.9 − 0.9·9.81 = 76.85 N

答案

T_top = 76.85 N

9.功和能

答案: P = 56.27 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 2000·9.81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 6° = 2051 N

F = 2051 + 200 = 2251 N

功率

v = 90/3.6 = 25 m/s

P = F·v = 2251·25 = 56271 W = 56.27 kW

答案

P = 56.27 kW

10.功和能

答案: v = 3.639 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 49.05·1.5 = 73.58 J

μ·m₁g·d = 0.1·49.05·1.5 = 7.358 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 66.22 → v = √(2·66.22/10) = 3.639 m/s

答案

v = 3.639 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 508.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.24) = 2.17 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 3.5)·2.17/0.015 = 508.5 m/s

答案

v = 508.5 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 464 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.3·(1 − cos 30°) = 0.1742 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.1742) = 1.849 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 2.008·1.849/0.008 = 464 m/s

答案

v = 464 m/s

13.弹簧与单摆

答案: x = 2.109 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(60/0.9) = 8.165 rad/s

ω·t = 8.165·1.4 = 11.43 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 5·cos(11.43) = 2.109 cm

答案

x = 2.109 cm

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 19.56 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(160/0.9) = 13.33 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.11·13.33² = 19.56 m/s²

答案

a_max = 19.56 m/s²

15.波、声与光学

答案: d_i = −7.143 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−10) − 1/25

d_i = −7.143 cm

光线图

虚像，与物体在同一侧

答案

d_i = −7.143 cm

16.波、声与光学

答案: θ₁ = 41.3 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/1200 mm = 8.333 × 10⁻⁷ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 1·550 × 10⁻⁹/(8.333 × 10⁻⁷) = 0.66

θ = 41.3°

答案

θ₁ = 41.3°

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