物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)1.333 s10

一辆以 36 km/h 行驶的汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 求制动距离 s。

v₀ = 36 km/ha = −7.5 m/s²v = 0
s = m
2.运动学困难
d = ?

一块石头由静止释放落入井中。释放后 2.3 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

ttotal = 2.3 svsound = 343 m/sg = 9.81 m/s²
d = m
3.牛顿定律中等
θ = 15°40 kgF = ?

一个 40 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 15° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 40 kgθ = 15°μ = 0.25g = 9.81 m/s²
F = N
4.牛顿定律困难
m1​ = 1 kg7 kgθ = 25°

倾角为 25° 的斜面上有一个 1 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 7 kg 物体相连。悬挂物向下运动。 物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.25。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。

m1 = 1 kgm2 = 7 kgθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
v0​ = 40 m/s40°x = ?

一个球 从平地上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 40 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²
x = m
6.抛体运动困难
h = 15 mv0​ = 11 m/s35°射程

一个球 从 15 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v0 = 11 m/sθ = 35°h = 15 mg = 9.81 m/s²
t = s
7.圆周运动中等
r = 125 mvmax​ = ?

一辆汽车通过半径为 125 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 vmax。

r = 125 mμs = 0.8g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.圆周运动困难
r = 0.7 mv = 8 m/s

一个 1.5 kg 的小球系在长 0.7 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.5 kgr = 0.7 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²
T = N
9.功和能中等
0.2 kgk = 1000 N/mh = ?

一个玩具发射器有一根刚度为 1000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.2 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 3 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.2 kgk = 1000 N/mx = 3 cmg = 9.81 m/s²
h = m
10.功和能困难
F = 90 N20°μ = 0.310 kg

一个 10 kg 的物块从 20° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 90 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.3。求物块沿斜坡向上移动 7 m 后的速度 v。

m = 10 kgF = 90 Nθ = 20°μ = 0.3d = 7 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
11.动量与碰撞中等
2.5 kg3 m/s1.5 kg

在无摩擦的导轨上，一个以 3 m/s 运动的 2.5 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第二个滑块的速度 v′2。

m1 = 2.5 kgm2 = 1.5 kgv1 = 3 m/sv2 = 0
v′2 = m/s
12.动量与碰撞困难
1900 kg13 m/s1200 kg15 m/sv′ = ?

在一个十字路口，一辆以 13 m/s 向东行驶的 1900 kg 汽车与一辆以 15 m/s 向北行驶的 1200 kg 汽车相撞。两车卡在一起。 求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m1 = 1900 kgv1 = 13 m/s (E)m2 = 1200 kgv2 = 15 m/s (N)
v′ = m/s
13.弹簧与单摆中等
t (s)x (cm)1.35 s

一个连在 k = 150 N/m 弹簧上的 2.9 kg 物体被沿正方向拉开 3 cm，在 t = 0 时由静止释放。 求 t = 1.35 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 2.9 kgk = 150 N/mA = 3 cmt = 1.35 s
x = cm
14.弹簧与单摆困难
2.1 kgk = 440 N/mA = 15 cm

一个 2.1 kg 的物体连在 k = 440 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 15 cm 后释放。 求振动的总能量 E。

m = 2.1 kgk = 440 N/mA = 15 cm
E = J
15.波、声与光学中等
θc = ?90°冕牌玻璃, n1​ = 1.50水, n2​ = 1.33

光在冕牌玻璃（n = 1.50）中向与水（n = 1.33）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θc。

n1 = 1.50n2 = 1.33
θc = °
16.波、声与光学困难
f1​ = 5 cmf2​ = 10 cm50 cm30 cm

两个薄透镜共轴，相距 30 cm：透镜 1 的 f₁ = 5 cm，透镜 2 的 f₂ = 10 cm。一个物体位于透镜 1 前 50 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 di2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f1 = 5 cmf2 = 10 cms = 30 cmdo = 50 cm
di2 = cm

3溶液

1.运动学

答案: s = 6.667 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·7.5) = 6.667 m

答案

s = 6.667 m
2.运动学

答案: d = 24.37 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(2.3 − t₁)
4.905·t₁² + 343·t₁ − 788.9 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·788.9))/(2·4.905) = 2.229 s

深度

d = ½·9.81·2.229² = 24.37 m

答案

d = 24.37 m
3.牛顿定律

答案: F = 196.3 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 101.6 + 94.76 = 196.3 N

答案

F = 196.3 N
4.牛顿定律

答案: a = 7.788 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 68.67 N
m₁·g·sin θ = 4.146 N
μ·m₁·g·cos θ = 2.223 N

系统的加速度

a = (68.67 − 4.146 − 2.223)/8 = 7.788 m/s²

答案

a = 7.788 m/s²
5.抛体运动

答案: x = 160.6 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 40·cos 40° = 30.64 m/s
vy = v0·sin θ = 40·sin 40° = 25.71 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2vy/g。

t = 2·25.71/9.81 = 5.242 s

水平距离

x = vx·t = 30.64·5.242 = 160.6 m

答案

x = 160.6 m
6.抛体运动

答案: t = 2.506 s

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 11·cos 35° = 9.011 m/s
vy = v0·sin θ = 11·sin 35° = 6.309 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 15 + 6.309·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (6.309 + √(39.81 + 294.3))/9.81 = 2.506 s

答案

t = 2.506 s
7.圆周运动

答案: vmax = 31.32 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·125) = 31.32 m/s

答案

vmax = 31.32 m/s (112.8 km/h)
8.圆周运动

答案: T = 151.9 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r
T = 1.5·9.81 + 1.5·8²/0.7 = 14.71 + 137.1 = 151.9 N

答案

T = 151.9 N
9.功和能

答案: h = 0.2294 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 3 cm = 0.03 m
½kx² = ½·1000·0.03² = 0.45 J

高度

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N
h = ½kx²/(mg) = 0.45/1.962 = 0.2294 m

答案

h = 0.2294 m
10.功和能

答案: v = 6.349 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N
mg·sin θ = 33.55 N
μ·mg·cos θ = 27.66 N

功–能关系

½mv² = (90 − 61.21)·7 = 201.5 J
v = √(2·201.5/10) = 6.349 m/s

答案

v = 6.349 m/s
11.动量与碰撞

答案: v′2 = 3.75 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′1 = (2.5 − 1.5)/(2.5 + 1.5)·3 = 0.75 m/s
v′2 = 2·2.5/(2.5 + 1.5)·3 = 3.75 m/s

答案

v′2 = 3.75 m/s
12.动量与碰撞

答案: v′ = 9.859 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

动量分量

px = 1900·13 = 24700 kg·m/s
py = 1200·15 = 18000 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(px² + py²)/(m1 + m2) = 30563/3100 = 9.859 m/s

答案

v′ = 9.859 m/s
13.弹簧与单摆

答案: x = −2.88 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(150/2.9) = 7.192 rad/s
ω·t = 7.192·1.35 = 9.709 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 3·cos(9.709) = −2.88 cm

答案

x = −2.88 cm
14.弹簧与单摆

答案: E = 4.95 J

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(440/2.1) = 14.47 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·440·0.15² = 4.95 J

答案

E = 4.95 J
15.波、声与光学

答案: θc = 62.46 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.33/1.50 = 0.8867

临界角

θc = arcsin(0.8867) = 62.46°

答案

θc = 62.46°
16.波、声与光学

答案: di2 = 16.92 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/di1 = 1/5 − 1/50 → di1 = 5.556 cm

透镜 2 的物

do2 = 30 − 5.556 = 24.44 cm

最终的像

1/di2 = 1/10 − 1/24.44 → di2 = 16.92 cm

答案

di2 = 16.92 cm

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