物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
警车a = 2 m/s²汽车30 m/s

一辆以恒定的 30 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 2 m/s² 匀加速。 警车需要多长时间追上？求 t。

vcar = 30 m/sapolice = 2 m/s²v0,police = 0
t = s
2.运动学困难
v₀ = 9 m/s25 m

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 9 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 9 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
θ = 20°a = ?m = 4 kg

一个 4 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 4 kgθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 1 kg0.5 kg无摩擦

水平桌面上一个 1 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 0.5 kg 重物相连。 桌面光滑。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 1 kgm2 = 0.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = 22 m/s30°x = ?

一个球 从平地上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 22 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²
x = m
6.抛体运动困难
h = 50 mv0​ = 28 m/s55°x = ?

一个球 从 50 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 28 m/sθ = 55°h = 50 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.圆周运动中等
L = 0.8 m25°

一个系在长 0.8 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 25° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。 求小球的速度 v。

L = 0.8 mθ = 25°g = 9.81 m/s²
v = m/s
8.圆周运动困难
r = 1.5 mv = 8 m/s

一个 0.7 kg 的小球系在长 1.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.7 kgr = 1.5 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²
T = N
9.功和能中等
0.1 kgk = 400 N/mh = ?

一个玩具发射器有一根刚度为 400 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.1 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 4 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.1 kgk = 400 N/mx = 4 cmg = 9.81 m/s²
h = m
10.功和能困难
F = 70 N25°μ = 0.28 kg

一个 8 kg 的物块从 25° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 70 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.2。求物块沿斜坡向上移动 8 m 后的速度 v。

m = 8 kgF = 70 Nθ = 25°μ = 0.2d = 8 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
11.动量与碰撞中等
3.5 kg7 m/s2.5 kg

在无摩擦的导轨上，一个以 7 m/s 运动的 3.5 kg 滑块与一个静止的 2.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第二个滑块的速度 v′2。

m1 = 3.5 kgm2 = 2.5 kgv1 = 7 m/sv2 = 0
v′2 = m/s
12.动量与碰撞困难
12 m/s14 m/s

一个 0.6 kg 的小球以 12 m/s 撞到墙上，并以 14 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。 求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.6 kgvin = 12 m/svout = 14 m/sΔt = 25 ms
J = N·s
13.弹簧与单摆中等
L = 1.5 mT = 2.3 s

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.5 m 的单摆在小幅摆动时周期为 2.3 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.5 mT = 2.3 s
g = m/s²
14.弹簧与单摆困难
1.5 kgk = 110 N/mA = 19 cm

一个 1.5 kg 的物体连在 k = 110 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 19 cm 后释放。 求它的最大加速度 amax。

m = 1.5 kgk = 110 N/mA = 19 cm
amax = m/s²
15.波、声与光学中等
85 dB?2 m10 m

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 2 m 处的声级为 85 dB。忽略吸收和反射，求 10 m 处的声级 β2。

β1 = 85 dBr1 = 2 mr2 = 10 m
β2 = dB
16.波、声与光学困难
λ = 480 nmd = 0.1 mmL = 1 my = ?

波长为 480 nm 的光照射到相距 0.1 mm 的两条缝上。屏距离缝 1 m。求从中央亮条纹到第 2 条亮条纹的距离 y2。

λ = 480 nmd = 0.1 mmL = 1 mm = 2
y2 = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 30 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·30/2 = 30 s

答案

t = 30 s

此时警车的速度为 2v = 60 m/s。

2.运动学

答案: t = 3.354 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−25 = 9·t − ½·9.81·t²
4.905·t² − 9·t − 25 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (9 + √(9² + 2·9.81·25))/9.81 = 3.354 s

答案

t = 3.354 s
3.牛顿定律

答案: a = 1.051 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.25·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2349) = 1.051 m/s²

答案

a = 1.051 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 3.27 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (4.905 − 0)/1.5 = 3.27 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 1·3.27 + 0 = 3.27 N

答案

T = 3.27 N
5.抛体运动

答案: x = 42.73 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 22·cos 30° = 19.05 m/s
vy = v0·sin θ = 22·sin 30° = 11 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2vy/g。

t = 2·11/9.81 = 2.243 s

水平距离

x = vx·t = 19.05·2.243 = 42.73 m

答案

x = 42.73 m
6.抛体运动

答案: x = 101.1 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 28·cos 55° = 16.06 m/s
vy = v0·sin θ = 28·sin 55° = 22.94 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 50 + 22.94·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (22.94 + √(526.1 + 981))/9.81 = 6.295 s

水平距离

x = vx·t = 16.06·6.295 = 101.1 m

答案

x = 101.1 m
7.圆周运动

答案: v = 1.244 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 0.8·sin 25° = 0.3381 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.3381·9.81·tan 25°) = 1.244 m/s

答案

v = 1.244 m/s
8.圆周运动

答案: T = 36.73 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r
T = 0.7·9.81 + 0.7·8²/1.5 = 6.867 + 29.87 = 36.73 N

答案

T = 36.73 N
9.功和能

答案: h = 0.3262 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 4 cm = 0.04 m
½kx² = ½·400·0.04² = 0.32 J

高度

m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N
h = ½kx²/(mg) = 0.32/0.981 = 0.3262 m

答案

h = 0.3262 m
10.功和能

答案: v = 6.724 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 8·9.81 = 78.48 N
mg·sin θ = 33.17 N
μ·mg·cos θ = 14.23 N

功–能关系

½mv² = (70 − 47.39)·8 = 180.9 J
v = √(2·180.9/8) = 6.724 m/s

答案

v = 6.724 m/s
11.动量与碰撞

答案: v′2 = 8.167 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′1 = (3.5 − 2.5)/(3.5 + 2.5)·7 = 1.167 m/s
v′2 = 2·3.5/(3.5 + 2.5)·7 = 8.167 m/s

答案

v′2 = 8.167 m/s
12.动量与碰撞

答案: J = 15.6 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(14 + 12) = 15.6 N·s

答案

J = 15.6 N·s
13.弹簧与单摆

答案: g = 11.19 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.5/2.3² = 11.19 m/s²

答案

g = 11.19 m/s²
14.弹簧与单摆

答案: amax = 13.93 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(110/1.5) = 8.563 rad/s

最大加速度

amax = A·ω² = 0.19·8.563² = 13.93 m/s²

答案

amax = 13.93 m/s²
15.波、声与光学

答案: β2 = 71.02 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (2/10)² = 0.04

新的声级

β₂ = 85 + 10·log₁₀(0.04) = 71.02 dB

答案

β2 = 71.02 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

16.波、声与光学

答案: y2 = 9.6 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·1/(0.1 × 10⁻³) = 4.8 mm

第 2 条条纹

y2 = 2·4.8 = 9.6 mm

答案

y2 = 9.6 mm

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