物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 200 km/h 的速度，可用跑道长 2000 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 200 km/hs = 2000 m

a = m/s²

2.运动学困难

球 A 从 35 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 27 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 35 mv_0B = 27 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 5 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 5 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 9.5 m/s 的速度开始沿 25° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 9.5 m/sθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 65° 的角度抛出，落在 120 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 65°R = 120 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 40 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 34 m/sθ = 55°h = 40 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一位道路工程师希望汽车以 100 km/h 通过半径为 180 m 的弯道时不依赖摩擦力。取 g = 9.81 m/s²。求弯道的倾角 θ。

r = 180 mv = 100 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.8 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。求它沿斜面滑行 14 m 后的速度 v。

θ = 20°μ = 0.15d = 14 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2.5 kgh = 4 mL = 4 mμ = 0.25k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 5 m/s 运动的 3.5 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 13 m/s 向东行驶的 800 kg 汽车与一辆以 11 m/s 向北行驶的 2000 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 800 kgv₁ = 13 m/s (E)m₂ = 2000 kgv₂ = 11 m/s (N)

θ = °

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 20 N/m 弹簧上的 3.1 kg 物体在无摩擦表面上以 14 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 7 cm 时的速度 v。

m = 3.1 kgk = 20 N/mA = 14 cmx = 7 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个 0.9 kg 的物体连在 k = 130 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 4 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 0.9 kgk = 130 N/mA = 4 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

频率为 300 Hz 的声源以 20 m/s 的速度朝静止的观察者运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 300 Hzv = 343 m/sv_s = 20 m/s

f′ = Hz

16.波、声与光学困难

波长为 650 nm 的光通过一条宽 0.2 mm 的单缝。求 1 m 外的屏上中央亮极大的宽度 w（即两侧第一暗条纹之间）。

λ = 650 nma = 0.2 mmL = 1 m

w = mm

3溶液

1.运动学

答案: a = 0.7716 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 200/3.6 = 55.56 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 55.56²/(2·2000) = 0.7716 m/s²

答案

a = 0.7716 m/s²

2.运动学

答案: t = 1.296 s

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

35 − ½g·t² = 27·t − ½g·t² → t = 35/27 = 1.296 s

答案

t = 1.296 s

3.牛顿定律

答案: a = 2.433 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.1·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.09397) = 2.433 m/s²

答案

a = 2.433 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 7.086 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 25° + 0.25·cos 25°) = 6.369 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 9.5²/(2·6.369) = 7.086 m

答案

d = 7.086 m

5.抛体运动

答案: v₀ = 39.2 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·120/sin 130°) = 39.2 m/s

答案

v₀ = 39.2 m/s

6.抛体运动

答案: x = 133.9 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 55° = 19.5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 55° = 27.85 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 40 + 27.85·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (27.85 + √(775.7 + 784.8))/9.81 = 6.866 s

水平距离

x = v_x·t = 19.5·6.866 = 133.9 m

答案

x = 133.9 m

7.圆周运动

答案: θ = 23.6 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

单位

v = 100/3.6 = 27.78 m/s

弯道倾角

tan θ = v²/(r·g) = 27.78²/(180·9.81) = 0.437

θ = 23.6°

答案

θ = 23.6°

8.圆周运动

答案: v_min = 2.801 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.8) = 2.801 m/s

答案

v_min = 2.801 m/s

9.功和能

答案: v = 7.432 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·14·(0.342 − 0.15·0.9397)) = 7.432 m/s

答案

v = 7.432 m/s

10.功和能

答案: x = 38.36 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(4 − 0.25·4) = 73.58 J

最大压缩量

½kx² = 73.58 → x = √(2·73.58/1000) = 0.3836 m = 38.36 cm

答案

x = 38.36 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 4.667 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3.5 − 4)/(3.5 + 4)·5 = −0.3333 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 4)·5 = 4.667 m/s

答案

v′₂ = 4.667 m/s

12.动量与碰撞

答案: θ = 64.7 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

动量分量

p_x = 800·13 = 10400 kg·m/s

p_y = 2000·11 = 22000 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 2.115 → θ = 64.7°

答案

θ = 64.7°

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.308 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(20/3.1) = 2.54 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 2.54·√(0.14² − 0.07²) = 0.308 m/s

答案

v = 0.308 m/s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.4807 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(130/0.9) = 12.02 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.04·12.02 = 0.4807 m/s

答案

v_max = 0.4807 m/s

15.波、声与光学

答案: f′ = 318.6 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 300·(343 + 0)/(343 − 20)

f′ = 318.6 Hz

答案

f′ = 318.6 Hz

16.波、声与光学

答案: w = 6.5 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

第一暗条纹

y₁ = λL/a = 650 × 10⁻⁹·1/(0.2 × 10⁻³) = 3.25 mm

中央极大的宽度

w = 2y₁ = 6.5 mm

答案

w = 6.5 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics