物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 45 km/ha = −5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

球 A 从 45 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 17 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 45 mv_0B = 17 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的雪橇被一根与水平方向成 25° 向上的绳子以 110 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 15 kgF = 110 Nθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 2.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 60° 的角度抛出，落在 85 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 60°R = 85 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶部以 32 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 32 m/sθ = 35°h = 25 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一位道路工程师希望汽车以 50 km/h 通过半径为 330 m 的弯道时不依赖摩擦力。取 g = 9.81 m/s²。求弯道的倾角 θ。

r = 330 mv = 50 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.圆周运动困难

一个 1 kg 的球系在长 0.8 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 11.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1 kgr = 0.8 mv_bottom = 11.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 2 kg 的球挂在长 3 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 70°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 2 kgL = 3 mθ = 70°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.15），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2.5 kgh = 3 mL = 5 mμ = 0.15k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 12 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 12 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 12 gM = 3.5 kgh = 12 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.45 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 5 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.45 kgv_in = 11 m/sv_out = 5 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.7 m 的单摆在小幅摆动时周期为 2.45 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.7 mT = 2.45 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 250 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 19 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 12 cm 时的动能 K。

k = 250 N/mA = 19 cmx = 12 cm

K = J

15.波、声与光学中等

一端封闭的管长 1.2 m。声速为 343 m/s。求其第 7 次谐波的频率 f₇。

v = 343 m/sn = 7L = 1.2 m

f₇ = Hz

16.波、声与光学困难

一个每毫米 1200 条刻线的光栅，在偏离直进方向 32.7° 处出现某条谱线的第 1 级极大。求该谱线的波长 λ。

N = 1200 mm⁻¹θ₁ = 32.7°m = 1

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: t = 2.5 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 12.5/5 = 2.5 s

答案

t = 2.5 s

2.运动学

答案: t = 2.647 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

45 − ½g·t² = 17·t − ½g·t² → t = 45/17 = 2.647 s

答案

t = 2.647 s

3.牛顿定律

答案: a = 5.975 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 147.2 − 110·sin 25° = 100.7 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 99.69 − 10.07

a = 89.63/15 = 5.975 m/s²

答案

a = 5.975 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 3.433 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 7.357)/5 = 3.433 m/s²

答案

a = 3.433 m/s²

5.抛体运动

答案: v₀ = 31.03 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·85/sin 120°) = 31.03 m/s

答案

v₀ = 31.03 m/s

6.抛体运动

答案: α = 47.66 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 32·cos 35° = 26.21 m/s

v_y0 = 32·sin 35° = 18.35 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(18.35² + 2·9.81·25) = 28.76 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 28.76/26.21 → α = 47.66°

答案

α = 47.66°

7.圆周运动

答案: θ = 3.41 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

单位

v = 50/3.6 = 13.89 m/s

弯道倾角

tan θ = v²/(r·g) = 13.89²/(330·9.81) = 0.05959

θ = 3.41°

答案

θ = 3.41°

8.圆周运动

答案: T_top = 116.3 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 11.5² − 4·9.81·0.8 = 100.9 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1·100.9/0.8 − 1·9.81 = 116.3 N

答案

T_top = 116.3 N

9.功和能

答案: T = 45.44 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 70°) = 38.73 m²/s²

最低点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

T = mg + mv²/L = 19.62 + 2·38.73/3 = 45.44 N

答案

T = 45.44 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 45.44 N。

10.功和能

答案: v = 6.644 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(3 − 0.15·5) = 55.18 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.25) = 6.644 m/s

答案

v = 6.644 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 449.1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.12) = 1.534 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 3.5)·1.534/0.012 = 449.1 m/s

答案

v = 449.1 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 7.2 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(5 + 11) = 7.2 N·s

答案

J = 7.2 N·s

13.弹簧与单摆

答案: g = 11.18 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.7/2.45² = 11.18 m/s²

答案

g = 11.18 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: K = 2.712 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·250·0.19² = 4.513 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·250·0.12² = 1.8 J

动能

K = 4.513 − 1.8 = 2.712 J

答案

K = 2.712 J

15.波、声与光学

答案: f₇ = 500.2 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

该模式的波长

λ = 4L/n = 4·1.2/7 = 0.6857 m

频率

f = v/λ = 343/0.6857 = 500.2 Hz

答案

f₇ = 500.2 Hz

16.波、声与光学

答案: λ = 450.2 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = d·sin θ/m = 8.333 × 10⁻⁷·sin 32.7°/1 = 450.2 nm

答案

λ = 450.2 nm

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