物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 28 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 4.5 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 28 m/sa_police = 4.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

球 A 从 45 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 23 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 45 mv_0B = 23 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 8.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 15 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 8.5 m/sd = 15 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 5 m/s 的速度开始沿 15° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 5 m/sθ = 15°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 18 m/s、与水平方向成 65° 的角度朝 10 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 18 m/sθ = 65°x = 10 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 31 m/s、与水平方向成 30° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 3 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 31 m/sθ = 30°h_roof = 3 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 150 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 150 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 250 m 的弯道倾斜 18°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 250 mθ = 18°μ_s = 0.15g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 50 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。求制动距离 d。

v = 50 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.2）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 2 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 2 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 5 kgm₂ = 2 kgμ = 0.2d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 20 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 3.5 kgh = 20 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 21 m/s 向东行驶的 1700 kg 汽车与一辆以 23 m/s 向北行驶的 800 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1700 kgv₁ = 21 m/s (E)m₂ = 800 kgv₂ = 23 m/s (N)

θ = °

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 230 N/m 弹簧上的 2.9 kg 物体在无摩擦表面上以 18 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 15 cm 时的速度 v。

m = 2.9 kgk = 230 N/mA = 18 cmx = 15 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个 2.4 kg 的物体连在 k = 170 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 11 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 2.4 kgk = 170 N/mA = 11 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

一个高 1 cm 的物体位于焦距为 12 cm 的薄会聚透镜前 4 cm 处。求像高 h_i（倒立的像为负）。

h_o = 1 cmd_o = 4 cmf = 12 cm

h_i = cm

16.波、声与光学困难

静止的传感器向以 30 m/s 的速度靠近的汽车发射 40 kHz 的超声波，并把回波与发射信号混频。求拍频 f_b（声速为 343 m/s）。

f = 40 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 12.44 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·28/4.5 = 12.44 s

答案

t = 12.44 s

此时警车的速度为 2v = 56 m/s。

2.运动学

答案: y = 26.22 m

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

45 − ½g·t² = 23·t − ½g·t² → t = 45/23 = 1.957 s

相遇高度

y = 23·1.957 − ½·9.81·1.957² = 26.22 m

答案

y = 26.22 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.2455

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 8.5²/(2·15) = 2.408 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.408/9.81 = 0.2455

答案

μ = 0.2455

4.牛顿定律

答案: d = 3.156 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 15° + 0.15·cos 15°) = 3.96 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 5²/(2·3.96) = 3.156 m

答案

d = 3.156 m

5.抛体运动

答案: y = 12.97 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 18·cos 65° = 7.607 m/s

t = x/v_x = 10/7.607 = 1.315 s

此时的高度

y = 16.31·1.315 − ½·9.81·1.315² = 12.97 m

答案

y = 12.97 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: x = 79.28 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 26.85 m/s, v_y = 15.5 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

3 = 15.5·t − 4.905·t²

t = (15.5 + √(15.5² − 2·9.81·3))/9.81 = 2.953 s

水平距离

x = v_x·t = 26.85·2.953 = 79.28 m

答案

x = 79.28 m

7.圆周运动

答案: v_max = 21.01 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·150) = 21.01 m/s

答案

v_max = 21.01 m/s (75.64 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 20.23 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(250·9.81·0.1664/0.9974) = 20.23 m/s

答案

v_min = 20.23 m/s

(72.81 km/h)

9.功和能

答案: d = 16.39 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 50/3.6 = 13.89 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 13.89²/(2·0.6·9.81) = 16.39 m

答案

d = 16.39 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: v = 2.368 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 19.62·2 = 39.24 J

μ·m₁g·d = 0.2·49.05·2 = 19.62 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 19.62 → v = √(2·19.62/7) = 2.368 m/s

答案

v = 2.368 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 868.6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.2) = 1.981 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 3.5)·1.981/0.008 = 868.6 m/s

答案

v = 868.6 m/s

12.动量与碰撞

答案: θ = 27.27 °

动量分量

p_x = 1700·21 = 35700 kg·m/s

p_y = 800·23 = 18400 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 0.5154 → θ = 27.27°

答案

θ = 27.27°

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.8861 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(230/2.9) = 8.906 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 8.906·√(0.18² − 0.15²) = 0.8861 m/s

答案

v = 0.8861 m/s

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 7.792 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(170/2.4) = 8.416 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.11·8.416² = 7.792 m/s²

答案

a_max = 7.792 m/s²

15.波、声与光学

答案: h_i = 1.5 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/4

d_i = −6 cm

放大率与像高

m = −(−6)/4 = 1.5

h_i = 1.5·1 = 1.5 cm

答案

h_i = 1.5 cm

16.波、声与光学

答案: f_b = 7668 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 40000·(343 + 30)/343 = 43499 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 30) = 47668 Hz

拍频

f_b = |f″ − f| = 7668 Hz

答案

f_b = 7668 Hz

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