物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
a = ?s = 1800 m

一架飞机起飞需要 300 km/h 的速度，可用跑道长 1800 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 300 km/hs = 1800 m
a = m/s²
2.运动学困难
t (s)v (m/s)10 s

一辆有轨电车从静止开始以 1 m/s² 加速 10 s，然后匀速行驶 14 s，最后以 3.5 m/s² 制动直到停止。 求两站之间的总距离 s。

a1 = 1 m/s²t1 = 10 st2 = 14 sa3 = −3.5 m/s²
s = m
3.牛顿定律中等
10 kg15°F = 90 Nμ = 0.3

一个 10 kg 的雪橇被一根与水平方向成 15° 向上的绳子以 90 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 10 kgF = 90 Nθ = 15°μ = 0.3g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 7 kg5 kg无摩擦

水平桌面上一个 7 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。 桌面光滑。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 7 kgm2 = 5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = 12 m/s65°射程H = ?

一个球 从平地上以高于水平面 65° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v0 = 12 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²
H = m
6.抛体运动困难
h = 35 mv0​ = 15 m/s35°x = ?

一个球 从 35 m 高的悬崖顶上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 15 m/sθ = 35°h = 35 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.圆周运动中等
r = 20 mvmax​ = ?

一辆汽车通过半径为 20 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 vmax。

r = 20 mμs = 0.3g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.圆周运动困难
θ = 15°指向圆心vmax​ = ?

一个半径为 70 m 的弯道倾斜 15°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。 求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 vmax。

r = 70 mθ = 15°μs = 0.2g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
9.功和能中等
40°d = 13 mμ = 0.15

一个 10 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 13 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 Wf。

m = 10 kgθ = 40°μ = 0.15d = 13 mg = 9.81 m/s²
Wf = J
10.功和能困难
h = 3 mL = 3 mμ = 0.3k = 800 N/m

一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。 求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2.5 kgh = 3 mL = 3 mμ = 0.3k = 800 N/mg = 9.81 m/s²
v = m/s
11.动量与碰撞中等
1700 kg22 m/s800 kg

一辆以 22 m/s 行驶的 1700 kg 汽车撞上一辆静止的 800 kg 汽车，两车卡在一起。 原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m1 = 1700 kgv1 = 22 m/sm2 = 800 kgv2 = 0
ΔK/K = %
12.动量与碰撞困难
15 m/s14 m/s

一个 0.45 kg 的小球以 15 m/s 撞到墙上，并以 14 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。

m = 0.45 kgvin = 15 m/svout = 14 m/sΔt = 40 ms
Favg = N
13.弹簧与单摆中等
L = 3 m

一个单摆的摆长为 3 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 3 mg = 9.81 m/s²
T = s
14.弹簧与单摆困难
t (s)x (cm)t = ?3.6

一个物体做简谐振动，周期为 1.8 s，振幅为 12 cm。 它从平衡位置运动到位移 3.6 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 1.8 sA = 12 cmx = 3.6 cm
t = s
15.波、声与光学中等
Pβ = ?r = 20 m

一个小扬声器向各个方向均匀辐射 0.2 W 的声功率。求 20 m 处的声强级 β。

P = 0.2 Wr = 20 mI0 = 10⁻¹² W/m²
β = dB
16.波、声与光学困难
λ = ?d = 0.1 mmL = 3 m63.84 mm

用单色光照射相距 0.1 mm 的两条缝。在 3 m 外的屏上，第 4 条亮条纹距中央条纹 63.84 mm。求波长 λ。

d = 0.1 mmL = 3 my4 = 63.84 mmm = 4
λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: a = 1.929 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 300/3.6 = 83.33 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 83.33²/(2·1800) = 1.929 m/s²

答案

a = 1.929 m/s²
2.运动学

答案: s = 204.3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a1·t1 = 1·10 = 10 m/s

各阶段的距离

s1 = ½·1·10² = 50 m
s2 = 10·14 = 140 m
s3 = 10²/(2·3.5) = 14.29 m

总距离

s = 50 + 140 + 14.29 = 204.3 m

答案

s = 204.3 m
3.牛顿定律

答案: a = 6.449 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 98.1 − 90·sin 15° = 74.81 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 86.93 − 22.44
a = 64.49/10 = 6.449 m/s²

答案

a = 6.449 m/s²
4.牛顿定律

答案: T = 28.61 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (49.05 − 0)/12 = 4.088 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 7·4.088 + 0 = 28.61 N

答案

T = 28.61 N
5.抛体运动

答案: H = 6.029 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 12·cos 65° = 5.071 m/s
vy = v0·sin θ = 12·sin 65° = 10.88 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：vy² = 2gH。

H = vy²/(2g) = 10.88²/(2·9.81) = 6.029 m

答案

H = 6.029 m
6.抛体运动

答案: x = 45.32 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 15·cos 35° = 12.29 m/s
vy = v0·sin θ = 15·sin 35° = 8.604 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 35 + 8.604·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (8.604 + √(74.02 + 686.7))/9.81 = 3.689 s

水平距离

x = vx·t = 12.29·3.689 = 45.32 m

答案

x = 45.32 m
7.圆周运动

答案: vmax = 7.672 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·20) = 7.672 m/s

答案

vmax = 7.672 m/s (27.62 km/h)
8.圆周运动

答案: vmax = 18.43 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r
N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(70·9.81·0.452/0.9142) = 18.43 m/s

答案

vmax = 18.43 m/s
(66.34 km/h)
9.功和能

答案: Wf = 146.5 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.766 = 75.15 N
F = μN = 0.15·75.15 = 11.27 N

克服摩擦做的功

Wf = F·d = 11.27·13 = 146.5 J

答案

Wf = 146.5 J
10.功和能

答案: v = 6.419 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 24.53·(3 − 0.3·3) = 51.5 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.1) = 6.419 m/s

答案

v = 6.419 m/s
11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 32 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 1700·22/2500 = 14.96 m/s

碰撞前后的动能

Kbefore = ½·1700·22² = 411400 J
Kafter = ½·2500·14.96² = 279752 J

损失的比例

ΔK/K = 131648/411400 = 32 %

答案

ΔK/K = 32 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: Favg = 326.3 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(14 + 15) = 13.05 N·s

平均作用力

Favg = J/Δt = 13.05/0.04 = 326.3 N

答案

Favg = 326.3 N
13.弹簧与单摆

答案: T = 3.475 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(3/9.81) = 3.475 s

答案

T = 3.475 s
14.弹簧与单摆

答案: t = 0.08729 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = 2π/T = 2π/1.8 = 3.491 rad/s

求解时间

0.3 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.3) = 0.3047 rad
t = 0.3047/3.491 = 0.08729 s

答案

t = 0.08729 s
15.波、声与光学

答案: β = 76 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

声强

I = P/(4πr²) = 3.979 × 10⁻⁵ W/m²

难度

β = 10·log₁₀(3.979 × 10⁻⁵/10⁻¹²) = 76 dB

答案

β = 76 dB
16.波、声与光学

答案: λ = 532 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = y·d/(mL) = 0.06384·0.0001/(4·3) = 5.32 × 10⁻⁷ m = 532 nm

答案

λ = 532 nm

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