运动学
- 速度
- v = v0 + a·t
- 位移
- s = v0·t + ½·a·t²
- 不含时间
- v² = v0² + 2·a·s
- 单位
- 1 m/s = 3.6 km/h
方法
- 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
- 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
- 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
- 求解并检查答案在物理上是否合理。
物理（一）：力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
牛顿定律
- 第二定律
- ΣF = m·a
- 重力
- W = m·g
- 动摩擦
- Ff = μ·N
- 斜面上
- 沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ
方法
- 画出物体所受全部力的受力图。
- 沿运动方向选定正方向。
- 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
- 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。
抛体运动
- 分量
- vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
- 位置
- x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
- 最大高度
- H = h + vy²/(2g)
- 射程（水平地面）
- R = v0²·sin 2θ/g
方法
- 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
- 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
- 由竖直方向的运动求飞行时间。
- 把该时间代入水平运动求射程。
圆周运动
- 向心加速度
- a = v²/r = ω²·r
- 向心力
- F = m·v²/r
- 角速度
- ω = v/r = 2π/T
- 水平弯道，摩擦
- vmax = √(μ·g·r)
功和能
- 动能
- Ek = ½mv²
- 势能
- Ep = mgh
- 能量衡算
- Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
- 摩擦力做功
- W = μ·N·d
- 功率
- P = W/t
动量与碰撞
- 动量
- p = m·v
- 守恒
- Σm·v (before) = Σm·v (after)
- 完全非弹性
- v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
- 冲量
- J = F·Δt = m·Δv
方法
- 选定正方向，并给每个速度标上符号。
- 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
- 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
- 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。
弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
波、声与光学
- 波速
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 声级
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点声源
- I = P/(4πr²)
- 驻波
- 弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
- 多普勒效应
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 折射率
- n = c/v, λ = λ0/n
- 斯涅尔定律
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 临界角
- sin θc = n2/n1
- 光纤
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 透镜与反射镜
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 双缝
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 光栅
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 单缝
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
方法
- 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
- 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
- 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
- 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。
2练习题
1.运动学中等
一辆以 50 km/h 行驶的汽车以 7 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 求制动距离 s。
v₀ = 50 km/ha = −7 m/s²v = 0
s = m
2.运动学困难
一块石头由静止释放落入井中。释放后 4 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。
ttotal = 4 svsound = 343 m/sg = 9.81 m/s²
d = m
3.牛顿定律中等
一个 12 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。
m = 12 kgθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
水平桌面上一个 9 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。 桌面光滑。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。
m1 = 9 kgm2 = 2.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
一个球从水平地面以 30 m/s、与水平方向成 65° 的角度朝 56 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？
v₀ = 30 m/sθ = 65°x = 56 mg = 9.81 m/s²
y = m
6.抛体运动困难
一个球从 50 m 高的悬崖顶部以 18 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。
v₀ = 18 m/sθ = 35°h = 50 mg = 9.81 m/s²
H = m
7.圆周运动中等
一辆汽车通过半径为 105 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 vmax。
r = 105 mμs = 0.6g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.圆周运动困难
一辆 0.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 37.8 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 9 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。 求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 Ntop。
m = 0.5 kgh = 37.8 mR = 9 mg = 9.81 m/s²
Ntop = N
9.功和能中等
一个 5 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 16 m，动摩擦因数为 0.25。求克服摩擦做的功 Wf。
m = 5 kgθ = 35°μ = 0.25d = 16 mg = 9.81 m/s²
Wf = J
10.功和能困难
一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 3 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。
m = 4 kgh = 3 mL = 5 mμ = 0.3k = 800 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
11.动量与碰撞中等
一辆以 14 m/s 行驶的 800 kg 汽车撞上一辆静止的 700 kg 汽车，两车卡在一起。 碰撞中损失了多少动能 ΔK？
m1 = 800 kgv1 = 14 m/sm2 = 700 kgv2 = 0
ΔK = J
12.动量与碰撞困难
一颗 15 g 的子弹水平射入一个用长 0.6 m 的轻绳悬挂的 2.5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 25°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。
m = 15 gM = 2.5 kgL = 0.6 mθ = 25°g = 9.81 m/s²
v = m/s
13.弹簧与单摆中等
一个连在 k = 370 N/m 弹簧上的 3.2 kg 物体在无摩擦表面上以 9 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 2 cm 时的速度 v。
m = 3.2 kgk = 370 N/mA = 9 cmx = 2 cm
v = m/s
14.弹簧与单摆困难
一个 3.1 kg 的物体连在 k = 200 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 20 cm 后释放。 求它的最大加速度 amax。
m = 3.1 kgk = 200 N/mA = 20 cm
amax = m/s²
15.波、声与光学中等
频率为 800 Hz 的声源以 15 m/s 的速度朝静止的观察者运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。
f = 800 Hzv = 343 m/svs = 15 m/s
f′ = Hz
16.波、声与光学困难
一个每毫米 800 条刻线的光栅，在偏离直进方向 53.1° 处出现某条谱线的第 2 级极大。求该谱线的波长 λ。
N = 800 mm⁻¹θ2 = 53.1°m = 2
λ = nm
3溶液
1.运动学
答案: s = 13.78 m
匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。
单位
v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s
制动距离
0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·7) = 13.78 m
答案
s = 13.78 m
2.运动学
答案: d = 70.61 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
时间的两部分
½·9.81·t₁² = 343·(4 − t₁)
4.905·t₁² + 343·t₁ − 1372 = 0
下落时间
只有正根有物理意义。
t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1372))/(2·4.905) = 3.794 s
深度
d = ½·9.81·3.794² = 70.61 m
答案
d = 70.61 m
3.牛顿定律
答案: a = 0.5897 m/s²
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
沿斜面方向的力
沿斜面向下为正。
m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ
加速度
a = 9.81·(sin 20° − 0.3·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2819) = 0.5897 m/s²
答案
a = 0.5897 m/s²
4.牛顿定律
答案: a = 2.133 m/s²
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
系统的加速度
a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (24.53 − 0)/11.5 = 2.133 m/s²
答案
a = 2.133 m/s²
5.抛体运动
答案: y = 24.4 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
到达墙的时间
vx = 30·cos 65° = 12.68 m/s
t = x/vx = 56/12.68 = 4.417 s
此时的高度
y = 27.19·4.417 − ½·9.81·4.417² = 24.4 m
答案
y = 24.4 m
球到达墙时已经在下落。
6.抛体运动
答案: H = 55.43 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
竖直方向的初速度
vy = 18·sin 35° = 10.32 m/s
高出悬崖的上升高度
Δh = vy²/(2g) = 10.32²/(2·9.81) = 5.433 m
离地面的高度
H = 50 + 5.433 = 55.43 m
答案
H = 55.43 m
7.圆周运动
答案: vmax = 24.86 m/s
匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。
摩擦力提供向心力
m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·105) = 24.86 m/s
答案
vmax = 24.86 m/s (89.5 km/h)
8.圆周运动
答案: Ntop = 16.68 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
由能量守恒求速度
v² = 2·9.81·(37.8 − 2·9) = 388.5 m²/s²
受力
指向圆心为正。
N = m·v²/R − m·g = 0.5·388.5/9 − 4.905 = 16.68 N
答案
Ntop = 16.68 N
9.功和能
答案: Wf = 160.7 J
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
摩擦力
N = mg·cos θ = 49.05·0.8192 = 40.18 N
F = μN = 0.25·40.18 = 10.04 N
克服摩擦做的功
Wf = F·d = 10.04·16 = 160.7 J
答案
Wf = 160.7 J
10.功和能
答案: x = 38.36 cm
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
通过粗糙段后剩余的能量
坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。
mgh − μmgL = 39.24·(3 − 0.3·5) = 58.86 J
最大压缩量
½kx² = 58.86 → x = √(2·58.86/800) = 0.3836 m = 38.36 cm
答案
x = 38.36 cm
11.动量与碰撞
答案: ΔK = 36587 J
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
共同速度
v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 800·14/1500 = 7.467 m/s
碰撞前后的动能
Kbefore = ½·800·14² = 78400 J
Kafter = ½·1500·7.467² = 41813 J
损失的能量
ΔK = 78400 − 41813 = 36587 J
答案
ΔK = 36587 J
损失的能量转化为形变、热和声音。
12.动量与碰撞
答案: v = 176.1 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
木块的上升高度
h = L·(1 − cos θ) = 0.6·(1 − cos 25°) = 0.05622 m
撞击后的速度
V = √(2·9.81·0.05622) = 1.05 m/s
碰撞
v = (m + M)·V/m = 2.515·1.05/0.015 = 176.1 m/s
答案
v = 176.1 m/s
13.弹簧与单摆
答案: v = 0.9436 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
角频率
ω = √(370/3.2) = 10.75 rad/s
x 处的速度
v = ω·√(A² − x²) = 10.75·√(0.09² − 0.02²) = 0.9436 m/s
答案
v = 0.9436 m/s
14.弹簧与单摆
答案: amax = 12.9 m/s²
简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。
角频率
ω = √(200/3.1) = 8.032 rad/s
最大加速度
amax = A·ω² = 0.2·8.032² = 12.9 m/s²
答案
amax = 12.9 m/s²
15.波、声与光学
答案: f′ = 836.6 Hz
驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。
多普勒公式
f′ = f·(v + vo)/(v − vs) = 800·(343 + 0)/(343 − 15)
f′ = 836.6 Hz
答案
f′ = 836.6 Hz
16.波、声与光学
答案: λ = 499.8 nm
干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。
波长
λ = d·sin θ/m = 1.25 × 10⁻⁶·sin 53.1°/2 = 499.8 nm
答案
λ = 499.8 nm
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