物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一位以 50 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.5 s，之后汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 50 km/ht_r = 1.5 sa = −6 m/s²

d = m

2.运动学困难

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 6 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 6 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 10 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 20° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 10 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 1 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 30 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 50 m 高的悬崖顶部以 22 m/s、与水平方向成 20° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 22 m/sθ = 20°h = 50 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 3.4 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求最小角速度 ω，以 rad/s 表示。

r = 3.4 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.圆周运动困难

一个 0.3 kg 的小球系在长 1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.3 kgr = 1 mv = 5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 2 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 10 m，动摩擦因数为 0.35。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2 kgθ = 25°μ = 0.35d = 10 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 10 kg 的物块从光滑坡道上 2.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 10 kgh = 2.5 mL = 4.5 mμ = 0.1k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 4 m/s 运动的 0.5 kg 滑块与一个静止的 2.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 23 m/s 向东行驶的 1300 kg 汽车与一辆以 9 m/s 向北行驶的 1400 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1300 kgv₁ = 23 m/s (E)m₂ = 1400 kgv₂ = 9 m/s (N)

θ = °

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.2 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.2 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 1.6 s，振幅为 11 cm。它从最大位移 11 cm 处运动到位移 3.3 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 1.6 sA = 11 cmx = 3.3 cm

t = s

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 20 cm 的薄会聚透镜前 50 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 50 cmf = 20 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

一个每毫米 600 条刻线的光栅，在偏离直进方向 29.1° 处出现某条谱线的第 2 级极大。求该谱线的波长 λ。

N = 600 mm⁻¹θ₂ = 29.1°m = 2

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: d = 36.91 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 13.89·1.5 = 20.83 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·6) = 16.08 m

合计

d = 20.83 + 16.08 = 36.91 m

答案

d = 36.91 m

2.运动学

答案: t = 2.165 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−10 = 6·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 6·t − 10 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (6 + √(6² + 2·9.81·10))/9.81 = 2.165 s

答案

t = 2.165 s

3.牛顿定律

答案: F = 47.38 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 33.55 + 13.83 = 47.38 N

答案

F = 47.38 N

4.牛顿定律

答案: a = 7.67 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 1.962)/5.5 = 7.67 m/s²

答案

a = 7.67 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 4.325 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 45° = 21.21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 45° = 21.21 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·21.21/9.81 = 4.325 s

答案

t = 4.325 s

6.抛体运动

答案: α = 57.31 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 22·cos 20° = 20.67 m/s

v_y0 = 22·sin 20° = 7.524 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(7.524² + 2·9.81·50) = 32.21 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 32.21/20.67 → α = 57.31°

答案

α = 57.31°

7.圆周运动

答案: ω = 1.899 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.8·3.4)) = 1.899 rad/s

答案

ω = 1.899 rad/s

8.圆周运动

答案: T = 10.44 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.3·9.81 + 0.3·5²/1 = 2.943 + 7.5 = 10.44 N

答案

T = 10.44 N

9.功和能

答案: W_f = 62.24 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.9063 = 17.78 N

F = μN = 0.35·17.78 = 6.224 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 6.224·10 = 62.24 J

答案

W_f = 62.24 J

10.功和能

答案: v = 6.342 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 98.1·(2.5 − 0.1·4.5) = 201.1 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.05) = 6.342 m/s

答案

v = 6.342 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = −2.667 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (0.5 − 2.5)/(0.5 + 2.5)·4 = −2.667 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 2.5)·4 = 1.333 m/s

答案

v′₁ = −2.667 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: θ = 22.85 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

动量分量

p_x = 1300·23 = 29900 kg·m/s

p_y = 1400·9 = 12600 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 0.4214 → θ = 22.85°

答案

θ = 22.85°

13.弹簧与单摆

答案: L = 1.203 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.2/2π)² = 1.203 m

答案

L = 1.203 m

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.3224 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = 2π/T = 2π/1.6 = 3.927 rad/s

求解时间

0.3 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.3) = 1.266 rad

t = 1.266/3.927 = 0.3224 s

答案

t = 0.3224 s

15.波、声与光学

答案: d_i = 33.33 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/50

d_i = 33.33 cm

光线图

实像，在透镜另一侧

答案

d_i = 33.33 cm

16.波、声与光学

答案: λ = 405.3 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = d·sin θ/m = 1.667 × 10⁻⁶·sin 29.1°/2 = 405.3 nm

答案

λ = 405.3 nm

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