物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 220 km/h 的速度，可用跑道长 1600 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 220 km/hs = 1600 m

a = m/s²

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 20 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 20 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 25 kg 的雪橇被一根与水平方向成 25° 向上的绳子以 160 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 25 kgF = 160 Nθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 5.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 36 m/s、与水平方向成 35° 的角度朝 74 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 36 m/sθ = 35°x = 74 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 15 m 高的悬崖顶上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 23 m/sθ = 25°h = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 65 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 65 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 210 m 的弯道倾斜 30°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不向上、向外滑出的最高速度 v_max。

r = 210 mθ = 30°μ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.35。求它沿斜面滑行 14 m 后的速度 v。

θ = 40°μ = 0.35d = 14 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一辆 0.5 kg 的小车从光滑轨道上 7 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时的速度 v。

m = 0.5 kgh = 7 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 3 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 2 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.55 kg 的小球以 21 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.55 kgv_in = 21 m/sv_out = 19 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.9 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.9 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个 0.4 kg 的物体连在 k = 280 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 9 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 0.4 kgk = 280 N/mA = 9 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 25 cm 的薄发散透镜前 20 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 20 cmf = −25 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

波长为 589 nm 的光照射到相距 0.25 mm 的两条缝上。屏距离缝 2 m。求从中央亮条纹到第 3 条亮条纹的距离 y₃。

λ = 589 nmd = 0.25 mmL = 2 mm = 3

y₃ = mm

3溶液

1.运动学

答案: a = 1.167 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 220/3.6 = 61.11 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 61.11²/(2·1600) = 1.167 m/s²

答案

a = 1.167 m/s²

2.运动学

答案: t = 5.244 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−30 = 20·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 20·t − 30 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (20 + √(20² + 2·9.81·30))/9.81 = 5.244 s

答案

t = 5.244 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.379 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 245.3 − 160·sin 25° = 177.6 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 145 − 35.53

a = 109.5/25 = 4.379 m/s²

答案

a = 4.379 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 27.28 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 16.19)/9 = 2.017 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5.5·2.017 + 16.19 = 27.28 N

答案

T = 27.28 N

5.抛体运动

答案: y = 20.93 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 36·cos 35° = 29.49 m/s

t = x/v_x = 74/29.49 = 2.509 s

此时的高度

y = 20.65·2.509 − ½·9.81·2.509² = 20.93 m

答案

y = 20.93 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: t = 3.001 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 25° = 20.85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 25° = 9.72 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 15 + 9.72·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.72 + √(94.48 + 294.3))/9.81 = 3.001 s

答案

t = 3.001 s

7.圆周运动

答案: v_max = 13.83 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·65) = 13.83 m/s

答案

v_max = 13.83 m/s (49.79 km/h)

8.圆周运动

答案: v_max = 51.17 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向下。

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(210·9.81·0.8464/0.666) = 51.17 m/s

答案

v_max = 51.17 m/s

(184.2 km/h)

9.功和能

答案: v = 10.14 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·14·(0.6428 − 0.35·0.766)) = 10.14 m/s

答案

v = 10.14 m/s

10.功和能

答案: v = 6.264 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(7 − 5) = 39.24 m²/s²

v = 6.264 m/s

答案

v = 6.264 m/s

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 1.286 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 2)/(5 + 2)·3 = 1.286 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 2)·3 = 4.286 m/s

答案

v′₁ = 1.286 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 550 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(19 + 21) = 22 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 22/0.04 = 550 N

答案

F_avg = 550 N

13.弹簧与单摆

答案: L = 2.09 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.9/2π)² = 2.09 m

答案

L = 2.09 m

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 2.381 m/s

角频率

ω = √(280/0.4) = 26.46 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.09·26.46 = 2.381 m/s

答案

v_max = 2.381 m/s

15.波、声与光学

答案: d_i = −11.11 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−25) − 1/20

d_i = −11.11 cm

光线图

虚像，与物体在同一侧

答案

d_i = −11.11 cm

16.波、声与光学

答案: y₃ = 14.14 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 589 × 10⁻⁹·2/(0.25 × 10⁻³) = 4.712 mm

第 3 条条纹

y₃ = 3·4.712 = 14.14 mm

答案

y₃ = 14.14 mm

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