物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 180 km/h 的速度，可用跑道长 1200 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 180 km/hs = 1200 m

a = m/s²

2.运动学困难

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 20 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求火箭达到的最大高度 h_max。

a = 20 m/s²t₁ = 2 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 25 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 40° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 25 kgθ = 40°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 4 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 4 kgm₂ = 3 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 22 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 30 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 9 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 30 m/sθ = 60°h_roof = 9 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 115 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 115 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.5 kg 的小球系在长 1.2 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 9 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.5 kgr = 1.2 mv = 9 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆汽车在水平路面上以 120 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。求制动距离 d。

v = 120 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.25），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1500 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 2 kgh = 2 mL = 2.5 mμ = 0.25k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 12 m/s 运动的 4.5 kg 滑块与一个静止的 0.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 8 m/s 向东行驶的 2000 kg 汽车与一辆以 18 m/s 向北行驶的 1400 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 2000 kgv₁ = 8 m/s (E)m₂ = 1400 kgv₂ = 18 m/s (N)

v′ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 200 N/m 弹簧上的 2.3 kg 物体在无摩擦表面上以 17 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 14 cm 时的速度 v。

m = 2.3 kgk = 200 N/mA = 17 cmx = 14 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个 1.2 kg 的物体连在 k = 360 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 20 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 1.2 kgk = 360 N/mA = 20 cm

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 10 cm 的薄发散透镜前 25 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 25 cmf = −10 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

波长为 500 nm 的光照射到相距 0.4 mm 的两条缝上。屏距离缝 1.5 m。求从中央亮条纹到第 2 条亮条纹的距离 y₂。

λ = 500 nmd = 0.4 mmL = 1.5 mm = 2

y₂ = mm

3溶液

1.运动学

答案: a = 1.042 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 180/3.6 = 50 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 50²/(2·1200) = 1.042 m/s²

答案

a = 1.042 m/s²

2.运动学

答案: h_max = 121.5 m

动力阶段

v₁ = 20·2 = 40 m/s

h₁ = ½·20·2² = 40 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 40²/(2·9.81) = 81.55 m

h_max = 40 + 81.55 = 121.5 m

答案

h_max = 121.5 m

3.牛顿定律

答案: F = 185.8 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 157.6 + 28.18 = 185.8 N

答案

F = 185.8 N

4.牛顿定律

答案: a = 3.644 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 3.924)/7 = 3.644 m/s²

答案

a = 3.644 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 37.79 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 25° = 19.94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 25° = 9.298 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·9.298/9.81 = 1.896 s

水平距离

x = v_x·t = 19.94·1.896 = 37.79 m

答案

x = 37.79 m

6.抛体运动

答案: x = 73.86 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 15 m/s, v_y = 25.98 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

9 = 25.98·t − 4.905·t²

t = (25.98 + √(25.98² − 2·9.81·9))/9.81 = 4.924 s

水平距离

x = v_x·t = 15·4.924 = 73.86 m

答案

x = 73.86 m

7.圆周运动

答案: v_max = 18.4 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·115) = 18.4 m/s

答案

v_max = 18.4 m/s (66.23 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 116 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.5·9.81 + 1.5·9²/1.2 = 14.71 + 101.3 = 116 N

答案

T = 116 N

9.功和能

答案: d = 80.9 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 120/3.6 = 33.33 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 33.33²/(2·0.7·9.81) = 80.9 m

答案

d = 80.9 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: x = 18.97 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(2 − 0.25·2.5) = 26.98 J

最大压缩量

½kx² = 26.98 → x = √(2·26.98/1500) = 0.1897 m = 18.97 cm

答案

x = 18.97 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 21.6 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4.5 − 0.5)/(4.5 + 0.5)·12 = 9.6 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 0.5)·12 = 21.6 m/s

答案

v′₂ = 21.6 m/s

12.动量与碰撞

答案: v′ = 8.779 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

动量分量

p_x = 2000·8 = 16000 kg·m/s

p_y = 1400·18 = 25200 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 29850/3400 = 8.779 m/s

答案

v′ = 8.779 m/s

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.8993 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(200/2.3) = 9.325 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 9.325·√(0.17² − 0.14²) = 0.8993 m/s

答案

v = 0.8993 m/s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 3.464 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(360/1.2) = 17.32 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.2·17.32 = 3.464 m/s

答案

v_max = 3.464 m/s

15.波、声与光学

答案: d_i = −7.143 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−10) − 1/25

d_i = −7.143 cm

光线图

虚像，与物体在同一侧

答案

d_i = −7.143 cm

16.波、声与光学

答案: y₂ = 3.75 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

条纹间距

Δy = λL/d = 500 × 10⁻⁹·1.5/(0.4 × 10⁻³) = 1.875 mm

第 2 条条纹

y₂ = 2·1.875 = 3.75 mm

答案

y₂ = 3.75 mm

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