物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)t = ?16.67

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 60 km/ha = −6.5 m/s²v = 0
t = s
2.运动学困难
v₀ = 9 m/s30 m

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 9 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 9 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
θ = 30°a = ?m = 4 kg

一个 4 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 4 kgθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 2 kg2.5 kg无摩擦

水平桌面上一个 2 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2.5 kg 重物相连。 桌面光滑。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。

m1 = 2 kgm2 = 2.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
v0​ = 38 m/s50°射程H = ?

一个球 从平地上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v0 = 38 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²
H = m
6.抛体运动困难
h = 40 mv0​ = 10 m/s35°v = ?

一个球从 40 m 高的悬崖顶部以 10 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求它落地时的速度 v。

v₀ = 10 m/sθ = 35°h = 40 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
7.圆周运动中等
r = 135 mvmax​ = ?

一辆汽车通过半径为 135 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 vmax。

r = 135 mμs = 0.5g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.圆周运动困难
r = 0.9 mv = 4.5 m/s

一个 1.9 kg 的小球系在长 0.9 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.9 kgr = 0.9 mv = 4.5 m/sg = 9.81 m/s²
T = N
9.功和能中等
100 km/h

一辆汽车在水平路面上以 100 km/h 行驶，紧急制动后车轮抱死滑行至停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.6。求制动距离 d。

v = 100 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²
d = m
10.功和能困难
k = 500 N/m20°μ = 0.30.5 kg

在 20° 斜坡底部有一根刚度为 500 N/m 的弹簧，它顶着一个 0.5 kg 的物块被压缩 8 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.3。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 0.5 kgk = 500 N/mx = 8 cmθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²
d = m
11.动量与碰撞中等
1000 kg5 m/s1500 kg

一辆以 5 m/s 行驶的 1000 kg 汽车撞上一辆静止的 1500 kg 汽车，两车卡在一起。 原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m1 = 1000 kgv1 = 5 m/sm2 = 1500 kgv2 = 0
ΔK/K = %
12.动量与碰撞困难
1700 kg24 m/s1300 kg25 m/sv′ = ?

在一个十字路口，一辆以 24 m/s 向东行驶的 1700 kg 汽车与一辆以 25 m/s 向北行驶的 1300 kg 汽车相撞。两车卡在一起。 求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m1 = 1700 kgv1 = 24 m/s (E)m2 = 1300 kgv2 = 25 m/s (N)
v′ = m/s
13.弹簧与单摆中等
L = ?

要使单摆的周期为 2.9 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.9 sg = 9.81 m/s²
L = m
14.弹簧与单摆困难
0.3 kgk = 240 N/mA = 5 cm

一个 0.3 kg 的物体连在 k = 240 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 5 cm 后释放。 求它的最大加速度 amax。

m = 0.3 kgk = 240 N/mA = 5 cm
amax = m/s²
15.波、声与光学中等
Pβ = ?r = 10 m

一个小扬声器向各个方向均匀辐射 0.02 W 的声功率。求 10 m 处的声强级 β。

P = 0.02 Wr = 10 mI0 = 10⁻¹² W/m²
β = dB
16.波、声与光学困难
λ = ?13.9°

一个每毫米 200 条刻线的光栅，在偏离直进方向 13.9° 处出现某条谱线的第 2 级极大。求该谱线的波长 λ。

N = 200 mm⁻¹θ2 = 13.9°m = 2
λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: t = 2.564 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 16.67/6.5 = 2.564 s

答案

t = 2.564 s
2.运动学

答案: t = 3.555 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−30 = 9·t − ½·9.81·t²
4.905·t² − 9·t − 30 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (9 + √(9² + 2·9.81·30))/9.81 = 3.555 s

答案

t = 3.555 s
3.牛顿定律

答案: a = 2.356 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.3·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2598) = 2.356 m/s²

答案

a = 2.356 m/s²
4.牛顿定律

答案: a = 5.45 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (24.53 − 0)/4.5 = 5.45 m/s²

答案

a = 5.45 m/s²
5.抛体运动

答案: H = 43.19 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 38·cos 50° = 24.43 m/s
vy = v0·sin θ = 38·sin 50° = 29.11 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：vy² = 2gH。

H = vy²/(2g) = 29.11²/(2·9.81) = 43.19 m

答案

H = 43.19 m
6.抛体运动

答案: v = 29.75 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

vx = 10·cos 35° = 8.192 m/s
vy0 = 10·sin 35° = 5.736 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

vy = √(5.736² + 2·9.81·40) = 28.6 m/s

落水速度

v = √(8.192² + 28.6²) = 29.75 m/s

答案

v = 29.75 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.圆周运动

答案: vmax = 25.73 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·135) = 25.73 m/s

答案

vmax = 25.73 m/s (92.64 km/h)
8.圆周运动

答案: T = 61.39 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r
T = 1.9·9.81 + 1.9·4.5²/0.9 = 18.64 + 42.75 = 61.39 N

答案

T = 61.39 N
9.功和能

答案: d = 65.55 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

以基本单位表示的速度

v = 100/3.6 = 27.78 m/s

能量衡算

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 27.78²/(2·0.6·9.81) = 65.55 m

答案

d = 65.55 m

速度加倍，制动距离变为四倍。

10.功和能

答案: d = 0.5228 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 8 cm = 0.08 m
½kx² = ½·500·0.08² = 1.6 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N
½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)
d = 1.6/(4.905·(0.342 + 0.3·0.9397)) = 0.5228 m

答案

d = 0.5228 m
11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 60 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 1000·5/2500 = 2 m/s

碰撞前后的动能

Kbefore = ½·1000·5² = 12500 J
Kafter = ½·2500·2² = 5000 J

损失的比例

ΔK/K = 7500/12500 = 60 %

答案

ΔK/K = 60 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: v′ = 17.39 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

动量分量

px = 1700·24 = 40800 kg·m/s
py = 1300·25 = 32500 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(px² + py²)/(m1 + m2) = 52162/3000 = 17.39 m/s

答案

v′ = 17.39 m/s
13.弹簧与单摆

答案: L = 2.09 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.9/2π)² = 2.09 m

答案

L = 2.09 m
14.弹簧与单摆

答案: amax = 40 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(240/0.3) = 28.28 rad/s

最大加速度

amax = A·ω² = 0.05·28.28² = 40 m/s²

答案

amax = 40 m/s²
15.波、声与光学

答案: β = 72.02 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

声强

I = P/(4πr²) = 1.592 × 10⁻⁵ W/m²

难度

β = 10·log₁₀(1.592 × 10⁻⁵/10⁻¹²) = 72.02 dB

答案

β = 72.02 dB
16.波、声与光学

答案: λ = 600.6 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = d·sin θ/m = 5 × 10⁻⁶·sin 13.9°/2 = 600.6 nm

答案

λ = 600.6 nm

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