物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)t = ?22.22

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 80 km/ha = −5 m/s²v = 0
t = s
2.运动学困难
v₀ = 12 m/s40 m

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 12 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 12 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
箱子v₀ = 5.5 m/sμ = ?

一个箱子以 5.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 5.1 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 5.5 m/sd = 5.1 mg = 9.81 m/s²
μ =
4.牛顿定律困难
m1​ = 4 kg4.5 kgμ = 0.1

水平桌面上一个 4 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.1。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。

m1 = 4 kgm2 = 4.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
v0​ = 18 m/s65°x = ?

一个球 从平地上以高于水平面 65° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v0 = 18 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²
x = m
6.抛体运动困难
h = 55 mv0​ = 25 m/s50°H = ?

一个球从 55 m 高的悬崖顶部以 25 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 25 m/sθ = 50°h = 55 mg = 9.81 m/s²
H = m
7.圆周运动中等
r = 2.2 mn = ?

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2.2 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。 求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 2.2 mμs = 0.3g = 9.81 m/s²
n = rpm
8.圆周运动困难
r = 0.7 mv = 7 m/s

一个 1.2 kg 的小球系在长 0.7 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 7 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.2 kgr = 0.7 mv = 7 m/sg = 9.81 m/s²
T = N
9.功和能中等
15°d = 14 mμ = 0.1

一个物块由静止沿倾角 15° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。求它沿斜面滑行 14 m 后的速度 v。

θ = 15°μ = 0.1d = 14 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
10.功和能困难
h = 5 mL = 4.5 mμ = 0.1k = 800 N/m

一个 2 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 4.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。 求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 2 kgh = 5 mL = 4.5 mμ = 0.1k = 800 N/mg = 9.81 m/s²
v = m/s
11.动量与碰撞中等
2.5 kgv = ?20 gh = 6 cm

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 2.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 6 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 2.5 kgh = 6 cmg = 9.81 m/s²
v = m/s
12.动量与碰撞困难
8 m/s14 m/s

一个 0.45 kg 的小球以 8 m/s 撞到墙上，并以 14 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。 求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.45 kgvin = 8 m/svout = 14 m/sΔt = 5 ms
J = N·s
13.弹簧与单摆中等
L = 1.3 m

一个单摆的摆长为 1.3 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1.3 mg = 9.81 m/s²
T = s
14.弹簧与单摆困难
1 kgk = 400 N/m300 m/s

一颗以 300 m/s 运动的 12 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 1 kg 木块中。木块连在一根 k = 400 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 12 gv = 300 m/sM = 1 kgk = 400 N/m
A = cm
15.波、声与光学中等
S15 m/sOf = 440 Hz

频率为 440 Hz 的声源以 15 m/s 的速度远离静止的观察者运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 440 Hzv = 343 m/svs = 15 m/s
f′ = Hz
16.波、声与光学困难
SO20 m/sf = 20 kHz

静止的传感器向以 20 m/s 的速度靠近的汽车发射 20 kHz 的超声波，并把回波与发射信号混频。求拍频 fb（声速为 343 m/s）。

f = 20 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s
fb = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 4.444 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 22.22/5 = 4.444 s

答案

t = 4.444 s
2.运动学

答案: t = 4.33 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−40 = 12·t − ½·9.81·t²
4.905·t² − 12·t − 40 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (12 + √(12² + 2·9.81·40))/9.81 = 4.33 s

答案

t = 4.33 s
3.牛顿定律

答案: μ = 0.3023

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 5.5²/(2·5.1) = 2.966 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.966/9.81 = 0.3023

答案

μ = 0.3023
4.牛顿定律

答案: T = 22.85 N

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (44.15 − 3.924)/8.5 = 4.732 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 4·4.732 + 3.924 = 22.85 N

答案

T = 22.85 N
5.抛体运动

答案: x = 25.3 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 18·cos 65° = 7.607 m/s
vy = v0·sin θ = 18·sin 65° = 16.31 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2vy/g。

t = 2·16.31/9.81 = 3.326 s

水平距离

x = vx·t = 7.607·3.326 = 25.3 m

答案

x = 25.3 m
6.抛体运动

答案: H = 73.69 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

vy = 25·sin 50° = 19.15 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = vy²/(2g) = 19.15²/(2·9.81) = 18.69 m

离地面的高度

H = 55 + 18.69 = 73.69 m

答案

H = 73.69 m
7.圆周运动

答案: n = 36.82 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r
μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.3·2.2)) = 3.855 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 36.82 rpm

答案

n = 36.82 rpm
8.圆周运动

答案: T = 95.77 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r
T = 1.2·9.81 + 1.2·7²/0.7 = 11.77 + 84 = 95.77 N

答案

T = 95.77 N
9.功和能

答案: v = 6.675 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9.81·14·(0.2588 − 0.1·0.9659)) = 6.675 m/s

答案

v = 6.675 m/s
10.功和能

答案: v = 9.448 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 19.62·(5 − 0.1·4.5) = 89.27 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.55) = 9.448 m/s

答案

v = 9.448 m/s
11.动量与碰撞

答案: v = 136.7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.06) = 1.085 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 2.5)·1.085/0.02 = 136.7 m/s

答案

v = 136.7 m/s
12.动量与碰撞

答案: J = 9.9 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.45·(14 + 8) = 9.9 N·s

答案

J = 9.9 N·s
13.弹簧与单摆

答案: T = 2.287 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1.3/9.81) = 2.287 s

答案

T = 2.287 s
14.弹簧与单摆

答案: A = 17.89 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.012·300/1.012 = 3.557 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(400/1.012) = 19.88 rad/s

振幅

A = V/ω = 3.557/19.88 = 0.1789 m = 17.89 cm

答案

A = 17.89 cm
15.波、声与光学

答案: f′ = 421.6 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − vo)/(v + vs) = 440·(343 − 0)/(343 + 15)
f′ = 421.6 Hz

答案

f′ = 421.6 Hz
16.波、声与光学

答案: fb = 2477 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 20000·(343 + 20)/343 = 21166 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 20) = 22477 Hz

拍频

fb = |f″ − f| = 2477 Hz

答案

fb = 2477 Hz

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