物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 50 km/h 行驶的汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 50 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 1.5 m/s² 加速 9 s，然后匀速行驶 28 s，最后以 2 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 1.5 m/s²t₁ = 9 st₂ = 28 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 12 kg 的物块沿倾角为 25° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 12 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 25° 的斜面上有一个 6 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 6 kgm₂ = 6 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 14 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 24 m/sθ = 20°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个系在长 1.6 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 30° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求小球的速度 v。

L = 1.6 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一辆 1.5 kg 的小车在无摩擦轨道上从 16.5 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 N_top。

m = 1.5 kgh = 16.5 mR = 5 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 500 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.15 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 8 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.15 kgk = 500 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一辆 2 kg 的小车从光滑轨道上 8 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 2 kgh = 8 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

一个以 19 m/s 水平运动的 13 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。12 kg 的碎片以 31 m/s 继续向前运动。求 1 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 13 kgu = 19 m/sm₁ = 12 kgv′₁ = 31 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 23 m/s 向东行驶的 1200 kg 汽车与一辆以 20 m/s 向北行驶的 1000 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1200 kgv₁ = 23 m/s (E)m₂ = 1000 kgv₂ = 20 m/s (N)

v′ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 0.2 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 0.2 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 0.7 kg 的物体连在 k = 220 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 10 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 0.7 kgk = 220 N/mA = 10 cm

a_max = m/s²

15.波、声与光学中等

光在金刚石（n = 2.42）中向与火石玻璃（n = 1.62）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 2.42n₂ = 1.62

θ_c = °

16.波、声与光学困难

一个每毫米 200 条刻线的光栅，在偏离直进方向 11.2° 处出现某条谱线的第 2 级极大。求该谱线的波长 λ。

N = 200 mm⁻¹θ₂ = 11.2°m = 2

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: s = 14.84 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·6.5) = 14.84 m

答案

s = 14.84 m

2.运动学

答案: s = 484.3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 1.5·9 = 13.5 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·1.5·9² = 60.75 m

s₂ = 13.5·28 = 378 m

s₃ = 13.5²/(2·2) = 45.56 m

总距离

s = 60.75 + 378 + 45.56 = 484.3 m

答案

s = 484.3 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.146 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0) = 4.146 m/s²

答案

a = 4.146 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 41.87 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 58.86 N

m₁·g·sin θ = 24.88 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (58.86 − 24.88 − 0)/12 = 2.832 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 6·(9.81 − 2.832) = 41.87 N

答案

T = 41.87 N

5.抛体运动

答案: t = 1.637 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 35° = 11.47 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 35° = 8.03 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·8.03/9.81 = 1.637 s

答案

t = 1.637 s

6.抛体运动

答案: x = 73.17 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 20° = 22.55 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 20° = 8.208 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 8.208·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.208 + √(67.38 + 490.5))/9.81 = 3.244 s

水平距离

x = v_x·t = 22.55·3.244 = 73.17 m

答案

x = 73.17 m

7.圆周运动

答案: v = 2.129 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 1.6·sin 30° = 0.8 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.8·9.81·tan 30°) = 2.129 m/s

答案

v = 2.129 m/s

8.圆周运动

答案: N_top = 23.54 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·(16.5 − 2·5) = 127.5 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R − m·g = 1.5·127.5/5 − 14.71 = 23.54 N

答案

N_top = 23.54 N

9.功和能

答案: h = 1.087 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·500·0.08² = 1.6 J

高度

m·g = 0.15·9.81 = 1.472 N

h = ½kx²/(mg) = 1.6/1.472 = 1.087 m

答案

h = 1.087 m

10.功和能

答案: N = 58.86 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(8 − 4) = 78.48 m²/s²

顶点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

N = mv²/R − mg = 2·78.48/2 − 19.62 = 58.86 N

答案

N = 58.86 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −125 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 13·19 = 247 kg·m/s

碰撞后的动量

247 = 12·31 + 1·v′₂

v′₂ = (247 − 372)/1 = −125 m/s

答案

v′₂ = −125 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: v′ = 15.49 m/s

动量分量

p_x = 1200·23 = 27600 kg·m/s

p_y = 1000·20 = 20000 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 34085/2200 = 15.49 m/s

答案

v′ = 15.49 m/s

13.弹簧与单摆

答案: T = 0.8971 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(0.2/9.81) = 0.8971 s

答案

T = 0.8971 s

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 31.43 m/s²

角频率

ω = √(220/0.7) = 17.73 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.1·17.73² = 31.43 m/s²

答案

a_max = 31.43 m/s²

15.波、声与光学

答案: θ_c = 42.02 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.62/2.42 = 0.6694

临界角

θc = arcsin(0.6694) = 42.02°

答案

θ_c = 42.02°

16.波、声与光学

答案: λ = 485.6 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = d·sin θ/m = 5 × 10⁻⁶·sin 11.2°/2 = 485.6 nm

答案

λ = 485.6 nm

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