物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 60 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 3.4 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 3.4 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 8 kg 的物块沿倾角为 45° 的光滑斜面下滑。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 8 kgθ = 45°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 9 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 9 m/sθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 70° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 12 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 30 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 2 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 30 m/sθ = 60°h_roof = 2 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 55 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 55 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 160 m 的弯道倾斜 25°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 160 mθ = 25°μ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 45° 的斜面下滑 16 m，动摩擦因数为 0.4。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 45°μ = 0.4d = 16 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 3 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.1）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 5 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 1 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 3 kgm₂ = 5 kgμ = 0.1d = 1 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 9 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 0.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 4 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.6 kg 的小球以 13 m/s 撞到墙上，并以 16 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.6 kgv_in = 13 m/sv_out = 16 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 210 N/m 弹簧上的 3.3 kg 物体在无摩擦表面上以 14 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 3 cm 时的速度 v。

m = 3.3 kgk = 210 N/mA = 14 cmx = 3 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 320 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 6 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 5 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 320 N/mA = 6 cmx = 5 cm

U = J

15.波、声与光学中等

两端固定的弦的第 4 次谐波必须为 333 Hz；波在其上以 100 m/s 传播。求其长度 L。

v = 100 m/sn = 4f₄ = 333 Hz

L = m

16.波、声与光学困难

波长为 600 nm 的光垂直照射在每毫米 600 条刻线的光栅上。求第 1 级极大的角度 θ₁。

N = 600 mm⁻¹λ = 600 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: s = 23.15 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·6) = 23.15 m

答案

s = 23.15 m

2.运动学

答案: d = 51.78 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.4 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1166 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1166))/(2·4.905) = 3.249 s

深度

d = ½·9.81·3.249² = 51.78 m

答案

d = 51.78 m

3.牛顿定律

答案: a = 6.937 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0) = 6.937 m/s²

答案

a = 6.937 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 6.133 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.2·cos 30°) = 6.604 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 9²/(2·6.604) = 6.133 m

答案

d = 6.133 m

5.抛体运动

答案: H = 6.481 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 70° = 4.104 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 70° = 11.28 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 11.28²/(2·9.81) = 6.481 m

答案

H = 6.481 m

6.抛体运动

答案: x = 78.28 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 15 m/s, v_y = 25.98 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

2 = 25.98·t − 4.905·t²

t = (25.98 + √(25.98² − 2·9.81·2))/9.81 = 5.219 s

水平距离

x = v_x·t = 15·5.219 = 78.28 m

答案

x = 78.28 m

7.圆周运动

答案: v_max = 16.42 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·55) = 16.42 m/s

答案

v_max = 16.42 m/s (59.13 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 9.366 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(160·9.81·0.0601/1.075) = 9.366 m/s

答案

v_min = 9.366 m/s

(33.72 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 111 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.7071 = 17.34 N

F = μN = 0.4·17.34 = 6.937 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 6.937·16 = 111 J

答案

W_f = 111 J

10.功和能

答案: v = 3.395 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 49.05·1 = 49.05 J

μ·m₁g·d = 0.1·29.43·1 = 2.943 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 46.11 → v = √(2·46.11/8) = 3.395 m/s

答案

v = 3.395 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 16 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (4 − 0.5)/(4 + 0.5)·9 = 7 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 0.5)·9 = 16 m/s

答案

v′₂ = 16 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 435 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(16 + 13) = 17.4 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 17.4/0.04 = 435 N

答案

F_avg = 435 N

13.弹簧与单摆

答案: v = 1.091 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(210/3.3) = 7.977 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 7.977·√(0.14² − 0.03²) = 1.091 m/s

答案

v = 1.091 m/s

14.弹簧与单摆

答案: U = 0.4 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·320·0.06² = 0.576 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·320·0.05² = 0.4 J

答案

U = 0.4 J

15.波、声与光学

答案: L = 0.6006 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 100/333 = 0.3003 m

长度

L = nλ/2 = 4·0.3003/2 = 0.6006 m

答案

L = 0.6006 m

16.波、声与光学

答案: θ₁ = 21.1 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/600 mm = 1.667 × 10⁻⁶ m

光栅方程

sin θ = mλ/d = 1·600 × 10⁻⁹/(1.667 × 10⁻⁶) = 0.36

θ = 21.1°

答案

θ₁ = 21.1°

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