物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 50 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 50 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 15 m 高的屋顶边缘以 16 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 16 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 6 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 6 kgθ = 45°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 40° 的斜面上有一个 6 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 7.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 6 kgm₂ = 7.5 kgθ = 40°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 70° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 32 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶部以 33 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 33 m/sθ = 45°h = 35 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆 1700 kg 的汽车以 6 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 105 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1700 kgv = 6 m/sr = 105 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个 1.6 kg 的小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.6 kgr = 0.8 mv = 4.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 0.5 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 20 m，动摩擦因数为 0.4。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 0.5 kgθ = 35°μ = 0.4d = 20 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一辆 5 kg 的小车从光滑轨道上 6 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 1.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 5 kgh = 6 mR = 1.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

一辆以 21 m/s 行驶的 1600 kg 汽车撞上一辆静止的 800 kg 汽车，两车卡在一起。碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m₁ = 1600 kgv₁ = 21 m/sm₂ = 800 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.动量与碰撞困难

一个 0.2 kg 的小球以 16 m/s 撞到墙上，并以 7 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.2 kgv_in = 16 m/sv_out = 7 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 130 N/m 弹簧上的 0.9 kg 物体被沿正方向拉开 8 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 1.1 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 0.9 kgk = 130 N/mA = 8 cmt = 1.1 s

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一颗以 400 m/s 运动的 5 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 4 kg 木块中。木块连在一根 k = 1700 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 5 gv = 400 m/sM = 4 kgk = 1700 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

两端固定的弦的第 2 次谐波必须为 107 Hz；波在其上以 80 m/s 传播。求其长度 L。

v = 80 m/sn = 2f₂ = 107 Hz

L = m

16.波、声与光学困难

静止的泊车传感器向以 30 m/s 的速度靠近的汽车发射 20 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 20 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 17.54 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·5.5) = 17.54 m

答案

s = 17.54 m

2.运动学

答案: h_max = 28.05 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 16²/(2·9.81) = 13.05 m

离地面的高度

h_max = 15 + 13.05 = 28.05 m

答案

h_max = 28.05 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.549 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.2·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1414) = 5.549 m/s²

答案

a = 5.549 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 57.48 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿绳子方向的力

m₂·g = 73.58 N

m₁·g·sin θ = 37.83 N

μ·m₁·g·cos θ = 6.763 N

系统的加速度

a = (73.58 − 37.83 − 6.763)/13.5 = 2.146 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 7.5·(9.81 − 2.146) = 57.48 N

答案

T = 57.48 N

5.抛体运动

答案: x = 67.1 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 70° = 10.94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 70° = 30.07 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·30.07/9.81 = 6.131 s

水平距离

x = v_x·t = 10.94·6.131 = 67.1 m

答案

x = 67.1 m

6.抛体运动

答案: H = 62.75 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 33·sin 45° = 23.33 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 23.33²/(2·9.81) = 27.75 m

离地面的高度

H = 35 + 27.75 = 62.75 m

答案

H = 62.75 m

7.圆周运动

答案: N = 16094 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1700·9.81 − 1700·6²/105 = 16677 − 582.9 = 16094 N

答案

N = 16094 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: T = 56.2 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.6·9.81 + 1.6·4.5²/0.8 = 15.7 + 40.5 = 56.2 N

答案

T = 56.2 N

9.功和能

答案: W_f = 32.14 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.8192 = 4.018 N

F = μN = 0.4·4.018 = 1.607 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 1.607·20 = 32.14 J

答案

W_f = 32.14 J

10.功和能

答案: N = 147.2 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(6 − 3) = 58.86 m²/s²

顶点的受力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

N = mv²/R − mg = 5·58.86/1.5 − 49.05 = 147.2 N

答案

N = 147.2 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: ΔK = 117600 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1600·21/2400 = 14 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1600·21² = 352800 J

K_after = ½·2400·14² = 235200 J

损失的能量

ΔK = 352800 − 235200 = 117600 J

答案

ΔK = 117600 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: J = 4.6 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.2·(7 + 16) = 4.6 N·s

答案

J = 4.6 N·s

13.弹簧与单摆

答案: v = −0.5849 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(130/0.9) = 12.02 rad/s

ω·t = 12.02·1.1 = 13.22 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.08·12.02·sin(13.22) = −0.5849 m/s

答案

v = −0.5849 m/s

14.弹簧与单摆

答案: A = 2.424 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.005·400/4.005 = 0.4994 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1700/4.005) = 20.6 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.4994/20.6 = 0.02424 m = 2.424 cm

答案

A = 2.424 cm

15.波、声与光学

答案: L = 0.7477 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 80/107 = 0.7477 m

长度

L = nλ/2 = 2·0.7477/2 = 0.7477 m

答案

L = 0.7477 m

16.波、声与光学

答案: f″ = 23834 Hz

汽车处的频率

f′ = 20000·(343 + 30)/343 = 21749 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 30) = 23834 Hz

答案

f″ = 23834 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics