物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 8 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 100 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 3.1 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 3.1 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 15 kgθ = 45°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 105 N 的水平力拉前面 5 kg 的物块；4 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgF = 105 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 28 m/s、与水平方向成 45° 的角度朝 32 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 28 m/sθ = 45°x = 32 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 28 m/sθ = 45°h = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 100 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 100 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.8 kg 的小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 3.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.8 kgr = 0.8 mv = 3.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆 800 kg 的汽车以恒定的 54 km/h 驶上 2° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 800 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 800 kgθ = 2°F_r = 800 Nv = 54 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

在 20° 斜坡底部有一根刚度为 3000 N/m 的弹簧，它顶着一个 2 kg 的物块被压缩 8 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.1。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 2 kgk = 3000 N/mx = 8 cmθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

一辆以 13 m/s 行驶的 1300 kg 汽车撞上一辆静止的 1100 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 1300 kgv₁ = 13 m/sm₂ = 1100 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

一个 0.1 kg 的小球以 8 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.1 kgv_in = 8 m/sv_out = 19 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 3.6 kg 的物体连在 k = 220 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 11 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 3.6 kgk = 220 N/mA = 11 cm

E = J

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 5 cm 的薄发散透镜前 50 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 50 cmf = −5 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

一个每毫米 600 条刻线的光栅，在偏离直进方向 21.1° 处出现某条谱线的第 1 级极大。求该谱线的波长 λ。

N = 600 mm⁻¹θ₁ = 21.1°m = 1

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: s = 48.23 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·8) = 48.23 m

答案

s = 48.23 m

2.运动学

答案: d = 43.37 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.1 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1063 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1063))/(2·4.905) = 2.974 s

深度

d = ½·9.81·2.974² = 43.37 m

答案

d = 43.37 m

3.牛顿定律

答案: a = 5.896 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.15·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1061) = 5.896 m/s²

答案

a = 5.896 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 10.2 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (105 − 13.24)/9 = 10.2 m/s²

答案

a = 10.2 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 19.19 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 28·cos 45° = 19.8 m/s

t = x/v_x = 32/19.8 = 1.616 s

此时的高度

y = 19.8·1.616 − ½·9.81·1.616² = 19.19 m

答案

y = 19.19 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: t = 5.046 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 45° = 19.8 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 45° = 19.8 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 19.8·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (19.8 + √(392 + 490.5))/9.81 = 5.046 s

答案

t = 5.046 s

7.圆周运动

答案: v_max = 28.01 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·100) = 28.01 m/s

答案

v_max = 28.01 m/s (100.9 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 45.22 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.8·9.81 + 1.8·3.5²/0.8 = 17.66 + 27.56 = 45.22 N

答案

T = 45.22 N

9.功和能

答案: P = 16.11 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 800·9.81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 2° = 273.9 N

F = 273.9 + 800 = 1074 N

功率

v = 54/3.6 = 15 m/s

P = F·v = 1074·15 = 16108 W = 16.11 kW

答案

P = 16.11 kW

10.功和能

答案: d = 1.122 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·3000·0.08² = 9.6 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 9.6/(19.62·(0.342 + 0.1·0.9397)) = 1.122 m

答案

d = 1.122 m

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 45.83 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1300·13/2400 = 7.042 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1300·13² = 109850 J

K_after = ½·2400·7.042² = 59502 J

损失的比例

ΔK/K = 50348/109850 = 45.83 %

答案

ΔK/K = 45.83 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 135 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.1·(19 + 8) = 2.7 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 2.7/0.02 = 135 N

答案

F_avg = 135 N

13.弹簧与单摆

答案: T = 2.837 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2/9.81) = 2.837 s

答案

T = 2.837 s

14.弹簧与单摆

答案: E = 1.331 J

角频率

ω = √(220/3.6) = 7.817 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·220·0.11² = 1.331 J

答案

E = 1.331 J

15.波、声与光学

答案: d_i = −4.545 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−5) − 1/50

d_i = −4.545 cm

光线图

虚像，与物体在同一侧

答案

d_i = −4.545 cm

16.波、声与光学

答案: λ = 600 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = d·sin θ/m = 1.667 × 10⁻⁶·sin 21.1°/1 = 600 nm

答案

λ = 600 nm

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