物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)t = ?22.22

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 3 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 80 km/ha = −3 m/s²v = 0
t = s
2.运动学困难
AB: 27 m/s35 m

球 A 从 35 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 27 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 35 mv0B = 27 m/sg = 9.81 m/s²
y = m
3.牛顿定律中等
θ = 45°a = ?m = 18 kg

一个 18 kg 的物块沿倾角为 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 18 kgθ = 45°μ = 0.25g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
θ = 30°物块v₀ = 10 m/s

一个物块被推了一下，以 10 m/s 的速度开始沿 30° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 10 m/sθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²
d = m
5.抛体运动中等
26 my = ?v0​ = 26 m/s55°

一个球从水平地面以 26 m/s、与水平方向成 55° 的角度朝 26 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 26 m/sθ = 55°x = 26 mg = 9.81 m/s²
y = m
6.抛体运动困难
h = 40 mv0​ = 27 m/s60°H = ?

一个球从 40 m 高的悬崖顶部以 27 m/s、与水平方向成 60° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 27 m/sθ = 60°h = 40 mg = 9.81 m/s²
H = m
7.圆周运动中等
θ = 25°指向圆心v = ?

一个半径为 260 m 的弯道倾斜 25°。汽车以多大速度 v 通过时完全不需要摩擦力？取 g = 9.81 m/s²。

r = 260 mθ = 25°g = 9.81 m/s²
v = m/s
8.圆周运动困难
r = 0.8 mv = 3 m/s

一个 1.7 kg 的小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 3 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.7 kgr = 0.8 mv = 3 m/sg = 9.81 m/s²
T = N
9.功和能中等
35°d = 6 mμ = 0.2

一个物块由静止沿倾角 35° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。求它沿斜面滑行 6 m 后的速度 v。

θ = 35°μ = 0.2d = 6 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
10.功和能困难
h = 2 mL = 2.5 mμ = 0.2k = 2000 N/m

一个 4 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。

m = 4 kgh = 2 mL = 2.5 mμ = 0.2k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
11.动量与碰撞中等
1 kg11 m/s3.5 kg

在无摩擦的导轨上，一个以 11 m/s 运动的 1 kg 滑块与一个静止的 3.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第一个滑块的速度 v′1（以其原运动方向为正）。

m1 = 1 kgm2 = 3.5 kgv1 = 11 m/sv2 = 0
v′1 = m/s
12.动量与碰撞困难
11 m/s5 m/s

一个 0.55 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 5 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。 求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.55 kgvin = 11 m/svout = 5 m/sΔt = 20 ms
J = N·s
13.弹簧与单摆中等
t (s)x (cm)1.3 s

一个连在 k = 240 N/m 弹簧上的 1 kg 物体被沿正方向拉开 6 cm，在 t = 0 时由静止释放。 求 t = 1.3 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 1 kgk = 240 N/mA = 6 cmt = 1.3 s
v = m/s
14.弹簧与单摆困难
3.9 kgk = 190 N/mA = 14 cm

一个 3.9 kg 的物体连在 k = 190 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 14 cm 后释放。 求它的最大速度 vmax。

m = 3.9 kgk = 190 N/mA = 14 cm
vmax = m/s
15.波、声与光学中等
S10 m/sOf = 1000 Hz

频率为 1000 Hz 的声源以 10 m/s 的速度朝静止的观察者运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 1000 Hzv = 343 m/svs = 10 m/s
f′ = Hz
16.波、声与光学困难
SO10 m/sf = 30 kHz

静止的传感器向以 10 m/s 的速度远离的汽车发射 30 kHz 的超声波，并把回波与发射信号混频。求拍频 fb（声速为 343 m/s）。

f = 30 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s
fb = Hz

3溶液

1.运动学

答案: t = 7.407 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 22.22/3 = 7.407 s

答案

t = 7.407 s
2.运动学

答案: y = 26.76 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

35 − ½g·t² = 27·t − ½g·t² → t = 35/27 = 1.296 s

相遇高度

y = 27·1.296 − ½·9.81·1.296² = 26.76 m

答案

y = 26.76 m
3.牛顿定律

答案: a = 5.203 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.25·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1768) = 5.203 m/s²

答案

a = 5.203 m/s²
4.牛顿定律

答案: d = 7.571 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 30° + 0.2·cos 30°) = 6.604 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 10²/(2·6.604) = 7.571 m

答案

d = 7.571 m
5.抛体运动

答案: y = 22.22 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

vx = 26·cos 55° = 14.91 m/s
t = x/vx = 26/14.91 = 1.743 s

此时的高度

y = 21.3·1.743 − ½·9.81·1.743² = 22.22 m

答案

y = 22.22 m

球到达墙时仍在上升。

6.抛体运动

答案: H = 67.87 m

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

vy = 27·sin 60° = 23.38 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = vy²/(2g) = 23.38²/(2·9.81) = 27.87 m

离地面的高度

H = 40 + 27.87 = 67.87 m

答案

H = 67.87 m
7.圆周运动

答案: v = 34.49 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速率

v = √(r·g·tan θ) = √(260·9.81·tan 25°) = 34.49 m/s

答案

v = 34.49 m/s
(124.2 km/h)
8.圆周运动

答案: T = 35.8 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r
T = 1.7·9.81 + 1.7·3²/0.8 = 16.68 + 19.12 = 35.8 N

答案

T = 35.8 N
9.功和能

答案: v = 6.945 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9.81·6·(0.5736 − 0.2·0.8192)) = 6.945 m/s

答案

v = 6.945 m/s
10.功和能

答案: x = 24.26 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 39.24·(2 − 0.2·2.5) = 58.86 J

最大压缩量

½kx² = 58.86 → x = √(2·58.86/2000) = 0.2426 m = 24.26 cm

答案

x = 24.26 cm
11.动量与碰撞

答案: v′1 = −6.111 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′1 = (1 − 3.5)/(1 + 3.5)·11 = −6.111 m/s
v′2 = 2·1/(1 + 3.5)·11 = 4.889 m/s

答案

v′1 = −6.111 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: J = 8.8 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.55·(5 + 11) = 8.8 N·s

答案

J = 8.8 N·s
13.弹簧与单摆

答案: v = −0.8931 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(240/1) = 15.49 rad/s
ω·t = 15.49·1.3 = 20.14 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.06·15.49·sin(20.14) = −0.8931 m/s

答案

v = −0.8931 m/s
14.弹簧与单摆

答案: vmax = 0.9772 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(190/3.9) = 6.98 rad/s

最大速度

vmax = A·ω = 0.14·6.98 = 0.9772 m/s

答案

vmax = 0.9772 m/s
15.波、声与光学

答案: f′ = 1030 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v + vo)/(v − vs) = 1000·(343 + 0)/(343 − 10)
f′ = 1030 Hz

答案

f′ = 1030 Hz
16.波、声与光学

答案: fb = 1700 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，fn = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，fn = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 30000·(343 − 10)/343 = 29125 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 + 10) = 28300 Hz

拍频

fb = |f″ − f| = 1700 Hz

答案

fb = 1700 Hz

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