物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 4 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 600 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 4 m/s²s = 600 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 20 m 高的屋顶边缘以 12 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 12 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

质量为 4 kg 和 2.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 4 kgm₂ = 2.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 9.5 m/s 的速度开始沿 20° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 9.5 m/sθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 26 m/s、与水平方向成 45° 的角度朝 41 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 26 m/sθ = 45°x = 41 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从地面以 17 m/s、与水平方向成 50° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 2 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 17 m/sθ = 50°h_roof = 2 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 95 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 95 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.1 kg 的小球系在长 0.6 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.1 kgr = 0.6 mv = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一辆 1000 kg 的汽车以恒定的 90 km/h 驶上 4° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 550 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1000 kgθ = 4°F_r = 550 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

在 40° 斜坡底部有一根刚度为 1000 N/m 的弹簧，它顶着一个 0.5 kg 的物块被压缩 15 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.2。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 0.5 kgk = 1000 N/mx = 15 cmθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 6 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 0.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 5 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.25 kg 的小球以 17 m/s 撞到墙上，并以 15 m/s 沿原路弹回。接触时间为 25 ms。求墙对小球的平均作用力 F_avg。

m = 0.25 kgv_in = 17 m/sv_out = 15 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.7 m 的单摆在小幅摆动时周期为 1.77 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.7 mT = 1.77 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 2 s，振幅为 10 cm。它从平衡位置运动到位移 8 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 2 sA = 10 cmx = 8 cm

t = s

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 8 cm 的薄会聚透镜前 50 cm 处。求放大率 m（倒立的像为负）。

d_o = 50 cmf = 8 cm

m =

16.波、声与光学困难

一个物体位于曲率半径为 20 cm 的凸面镜前 12 cm 处。求像距 d_i，像在镜前（实像）为正，在镜后（虚像）为负。

d_o = 12 cmR = 20 cm

d_i = cm

3溶液

1.运动学

答案: v = 69.28 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·4·600) = 69.28 m/s

答案

v = 69.28 m/s

(249.4 km/h)

2.运动学

答案: h_max = 27.34 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 12²/(2·9.81) = 7.339 m

离地面的高度

h_max = 20 + 7.339 = 27.34 m

答案

h_max = 27.34 m

3.牛顿定律

答案: T = 30.18 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (4 − 2.5)·9.81/(4 + 2.5) = 2.264 m/s²

由较轻物体求拉力

T − m₂·g = m₂·a → T = 2.5·(9.81 + 2.264) = 30.18 N

答案

T = 30.18 N

4.牛顿定律

答案: d = 10.55 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 20° + 0.1·cos 20°) = 4.277 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 9.5²/(2·4.277) = 10.55 m

答案

d = 10.55 m

5.抛体运动

答案: y = 16.61 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 26·cos 45° = 18.38 m/s

t = x/v_x = 41/18.38 = 2.23 s

此时的高度

y = 18.38·2.23 − ½·9.81·2.23² = 16.61 m

答案

y = 16.61 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: x = 27.22 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 10.93 m/s, v_y = 13.02 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

2 = 13.02·t − 4.905·t²

t = (13.02 + √(13.02² − 2·9.81·2))/9.81 = 2.491 s

水平距离

x = v_x·t = 10.93·2.491 = 27.22 m

答案

x = 27.22 m

7.圆周运动

答案: v_max = 25.54 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·95) = 25.54 m/s

答案

v_max = 25.54 m/s (91.95 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 143.2 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.1·9.81 + 1.1·8.5²/0.6 = 10.79 + 132.5 = 143.2 N

答案

T = 143.2 N

9.功和能

答案: P = 30.86 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1000·9.81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 4° = 684.3 N

F = 684.3 + 550 = 1234 N

功率

v = 90/3.6 = 25 m/s

P = F·v = 1234·25 = 30858 W = 30.86 kW

答案

P = 30.86 kW

10.功和能

答案: d = 2.881 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·1000·0.15² = 11.25 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 11.25/(4.905·(0.6428 + 0.2·0.766)) = 2.881 m

答案

d = 2.881 m

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 4.909 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 0.5)/(5 + 0.5)·6 = 4.909 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 0.5)·6 = 10.91 m/s

答案

v′₁ = 4.909 m/s

12.动量与碰撞

答案: F_avg = 320 N

动量的变化量

J = m·Δv = 0.25·(15 + 17) = 8 N·s

平均作用力

F_avg = J/Δt = 8/0.025 = 320 N

答案

F_avg = 320 N

13.弹簧与单摆

答案: g = 8.821 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.7/1.77² = 8.821 m/s²

答案

g = 8.821 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.2952 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/2 = 3.142 rad/s

求解时间

0.8 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.8) = 0.9273 rad

t = 0.9273/3.142 = 0.2952 s

答案

t = 0.2952 s

15.波、声与光学

答案: m = −0.1905

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/50

d_i = 9.524 cm

放大率

m = −d_i/d_o = −9.524/50 = −0.1905

答案

m = −0.1905

16.波、声与光学

答案: d_i = −5.455 cm

焦距

f = −R/2 = −10 cm

镜面方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−10) − 1/12

d_i = −5.455 cm

光线图

镜后的虚像

答案

d_i = −5.455 cm

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