物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 4 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 60 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 40 m 高的屋顶边缘以 5 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 5 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 7 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 7 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 6.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4.5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 50° 的角度抛出，落在 130 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 50°R = 130 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶部以 27 m/s、与水平方向成 40° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 27 m/sθ = 40°h = 30 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一辆 1700 kg 的汽车以 11 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 30 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1700 kgv = 11 m/sr = 30 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一个 1.7 kg 的球系在长 1.2 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 9.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.7 kgr = 1.2 mv_bottom = 9.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 1 kg 的球挂在长 1 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 50°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 1 kgL = 1 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 8 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.3）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 4 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 1.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 8 kgm₂ = 4 kgμ = 0.3d = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一个以 34 m/s 水平运动的 12 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。11 kg 的碎片以 90 m/s 继续向前运动。求 1 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 12 kgu = 34 m/sm₁ = 11 kgv′₁ = 90 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 2000 kg 的汽车撞上一辆停放的 1100 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 13 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 2000 kgm₂ = 1100 kgd = 13 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.7 m 的单摆在小幅摆动时周期为 2.75 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.7 mT = 2.75 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个连在 k = 380 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 19 cm 的振幅振动。求物体距平衡位置 7 cm 时弹簧中储存的能量 U。

k = 380 N/mA = 19 cmx = 7 cm

U = J

15.波、声与光学中等

一个物体位于焦距为 25 cm 的薄会聚透镜前 4 cm 处。求像距 d_i。使用符号规定 1/f = 1/d_o + 1/d_i（发散透镜 f < 0，虚像 d_i < 0）。

d_o = 4 cmf = 25 cm

d_i = cm

16.波、声与光学困难

一个衍射光栅每毫米有 300 条刻线。波长为 500 nm 的光垂直照射在它上面。能看到的最高级亮极大是多少级 m_max？

N = 300 mm⁻¹λ = 500 nm

m_max =

3溶液

1.运动学

答案: t = 4.167 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 16.67/4 = 4.167 s

答案

t = 4.167 s

2.运动学

答案: t = 3.41 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−40 = 5·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 5·t − 40 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (5 + √(5² + 2·9.81·40))/9.81 = 3.41 s

答案

t = 3.41 s

3.牛顿定律

答案: a = 4.055 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.1·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.0866) = 4.055 m/s²

答案

a = 4.055 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 31.3 N

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 12.75)/11 = 2.854 m/s²

由桌面上的物块求张力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6.5·2.854 + 12.75 = 31.3 N

答案

T = 31.3 N

5.抛体运动

答案: v₀ = 35.99 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·130/sin 100°) = 35.99 m/s

答案

v₀ = 35.99 m/s

6.抛体运动

答案: H = 45.35 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 27·sin 40° = 17.36 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 17.36²/(2·9.81) = 15.35 m

离地面的高度

H = 30 + 15.35 = 45.35 m

答案

H = 45.35 m

7.圆周运动

答案: N = 9820 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1700·9.81 − 1700·11²/30 = 16677 − 6857 = 9820 N

答案

N = 9820 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: T_top = 44.47 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 9.5² − 4·9.81·1.2 = 43.16 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.7·43.16/1.2 − 1.7·9.81 = 44.47 N

答案

T_top = 44.47 N

9.功和能

答案: T = 16.82 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1·(1 − cos 50°) = 7.009 m²/s²

最低点的受力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·7.009/1 = 16.82 N

答案

T = 16.82 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 16.82 N。

10.功和能

答案: v = 1.981 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 39.24·1.5 = 58.86 J

μ·m₁g·d = 0.3·78.48·1.5 = 35.32 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 23.54 → v = √(2·23.54/12) = 1.981 m/s

答案

v = 1.981 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −582 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 12·34 = 408 kg·m/s

碰撞后的动量

408 = 11·90 + 1·v′₂

v′₂ = (408 − 990)/1 = −582 m/s

答案

v′₂ = −582 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 17.5 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·13) = 11.29 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3100·11.29/2000 = 17.5 m/s

答案

v₁ = 17.5 m/s

(63.01 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: g = 8.874 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.7/2.75² = 8.874 m/s²

答案

g = 8.874 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: U = 0.931 J

总能量

E = ½·k·A² = ½·380·0.19² = 6.859 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·380·0.07² = 0.931 J

答案

U = 0.931 J

15.波、声与光学

答案: d_i = −4.762 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/4

d_i = −4.762 cm

光线图

虚像，与物体在同一侧

答案

d_i = −4.762 cm

16.波、声与光学

答案: m_max = 6

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

刻线间距

d = 1/300 mm = 3.333 µm

最高级次

m ≤ d/λ = 3.333 µm/0.5 µm = 6.667 → m_max = 6

答案

m_max = 6

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