物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以 120 km/h 行驶的汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 120 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 60 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 29 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。两球何时相遇？求 t。

H = 60 mv_0B = 29 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的雪橇被一根与水平方向成 30° 向上的绳子以 200 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 20 kgF = 200 Nθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 80 N 的水平力拉前面 6 kg 的物块；2 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 2 kgm₂ = 6 kgF = 80 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 10 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 35 m 高的悬崖顶部以 35 m/s、与水平方向成 20° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 35 m/sθ = 20°h = 35 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆汽车驶过路面上的一个凸起的顶部，凸起是半径为 25 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。速度超过多少 v_max 时，车轮会在顶部离开路面？

r = 25 mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个半径为 60 m 的弯道倾斜 20°，轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求汽车通过弯道而不沿坡面向下滑的最低速度 v_min。

r = 60 mθ = 20°μ_s = 0.2g = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 2.5 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 2 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2.5 kgθ = 40°μ = 0.1d = 2 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 2 kg 的物块从 35° 斜坡的底部由静止开始，被一个平行于斜坡、大小为 35 N 的恒力沿斜坡向上拉。动摩擦因数为 0.3。求物块沿斜坡向上移动 4 m 后的速度 v。

m = 2 kgF = 35 Nθ = 35°μ = 0.3d = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 10 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 1.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 25 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 10 gM = 1.5 kgh = 25 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 800 kg 的汽车撞上一辆停放的 1300 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 24 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 800 kgm₂ = 1300 kgd = 24 mμ = 0.5g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 1.5 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 1.5 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一颗以 100 m/s 运动的 12 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 1.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 1500 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 12 gv = 100 m/sM = 1.5 kgk = 1500 N/m

A = cm

15.波、声与光学中等

频率为 300 Hz 的声源以 15 m/s 的速度远离静止的观察者运动。声速为 343 m/s。求观察者听到的频率 f′。

f = 300 Hzv = 343 m/sv_s = 15 m/s

f′ = Hz

16.波、声与光学困难

静止的泊车传感器向以 20 m/s 的速度靠近的汽车发射 30 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 30 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.运动学

答案: s = 74.07 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·7.5) = 74.07 m

答案

s = 74.07 m

2.运动学

答案: t = 2.069 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

60 − ½g·t² = 29·t − ½g·t² → t = 60/29 = 2.069 s

答案

t = 2.069 s

3.牛顿定律

答案: a = 7.217 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 196.2 − 200·sin 30° = 96.2 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 173.2 − 28.86

a = 144.3/20 = 7.217 m/s²

答案

a = 7.217 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 8.528 m/s²

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (80 − 11.77)/8 = 8.528 m/s²

答案

a = 8.528 m/s²

5.抛体运动

答案: H = 3.42 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 55° = 5.736 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 55° = 8.192 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 8.192²/(2·9.81) = 3.42 m

答案

H = 3.42 m

6.抛体运动

答案: α = 41.22 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 35·cos 20° = 32.89 m/s

v_y0 = 35·sin 20° = 11.97 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(11.97² + 2·9.81·35) = 28.81 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 28.81/32.89 → α = 41.22°

答案

α = 41.22°

7.圆周运动

答案: v_max = 15.66 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

法向力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·25) = 15.66 m/s

答案

v_max = 15.66 m/s

(56.38 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 9.485 m/s

力的平衡

摩擦力沿斜面向上。

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

速率

v = √(60·9.81·0.1541/1.008) = 9.485 m/s

答案

v_min = 9.485 m/s

(34.15 km/h)

9.功和能

答案: W_f = 3.757 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.766 = 18.79 N

F = μN = 0.1·18.79 = 1.879 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 1.879·2 = 3.757 J

答案

W_f = 3.757 J

10.功和能

答案: v = 8.701 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面方向的力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

mg·sin θ = 11.25 N

μ·mg·cos θ = 4.822 N

功–能关系

½mv² = (35 − 16.08)·4 = 75.7 J

v = √(2·75.7/2) = 8.701 m/s

答案

v = 8.701 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 334.4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.25) = 2.215 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 1.5)·2.215/0.01 = 334.4 m/s

答案

v = 334.4 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 40.28 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.5·9.81·24) = 15.34 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2100·15.34/800 = 40.28 m/s

答案

v₁ = 40.28 m/s

(145 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: T = 2.457 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(1.5/9.81) = 2.457 s

答案

T = 2.457 s

14.弹簧与单摆

答案: A = 2.52 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.012·100/1.512 = 0.7937 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1500/1.512) = 31.5 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.7937/31.5 = 0.0252 m = 2.52 cm

答案

A = 2.52 cm

15.波、声与光学

答案: f′ = 287.4 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

多普勒公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 300·(343 − 0)/(343 + 15)

f′ = 287.4 Hz

答案

f′ = 287.4 Hz

16.波、声与光学

答案: f″ = 33715 Hz

汽车处的频率

f′ = 30000·(343 + 20)/343 = 31749 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 − 20) = 33715 Hz

答案

f″ = 33715 Hz

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