物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 16 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 3 m/s² 匀加速。警车在距其出发点多远处追上？求 d。

v_car = 16 m/sa_police = 3 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 4.7 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 4.7 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 8.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 12 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 8.5 m/sd = 12 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 3.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 34 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 19 m/sθ = 30°h = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆 1700 kg 的汽车以 10 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 75 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1700 kgv = 10 m/sr = 75 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.圆周运动困难

一辆 4 kg 的小车在无摩擦轨道上从 17.15 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 3.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环顶部时轨道对它的法向力 N_top。

m = 4 kgh = 17.15 mR = 3.5 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.功和能中等

一辆 1800 kg 的汽车以恒定的 90 km/h 驶上 6° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 550 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 1800 kgθ = 6°F_r = 550 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

在 25° 斜坡底部有一根刚度为 1000 N/m 的弹簧，它顶着一个 3 kg 的物块被压缩 10 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.1。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 3 kgk = 1000 N/mx = 10 cmθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 7 m/s 运动的 1 kg 滑块与一个静止的 0.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第一个滑块的速度 v′₁（以其原运动方向为正）。

m₁ = 1 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1400 kg 的汽车撞上一辆停放的 1100 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 15.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.75。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1400 kgm₂ = 1100 kgd = 15.5 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 2.9 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 2.9 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 2.4 s，振幅为 4 cm。它从最大位移 4 cm 处运动到位移 2 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 2.4 sA = 4 cmx = 2 cm

t = s

15.波、声与光学中等

光在乙醇（n = 1.36）中向与空气（n = 1.00）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θ_c。

n₁ = 1.36n₂ = 1.00

θ_c = °

16.波、声与光学困难

用单色光照射相距 0.3 mm 的两条缝。在 3 m 外的屏上，第 1 条亮条纹距中央条纹 6.5 mm。求波长 λ。

d = 0.3 mmL = 3 my₁ = 6.5 mmm = 1

λ = nm

3溶液

1.运动学

答案: d = 170.7 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·16/3 = 10.67 s

距离

d = v·t = 16·10.67 = 170.7 m

答案

d = 170.7 m

此时警车的速度为 2v = 32 m/s。

2.运动学

答案: d = 95.85 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.7 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1612 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1612))/(2·4.905) = 4.421 s

深度

d = ½·9.81·4.421² = 95.85 m

答案

d = 95.85 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.3069

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 8.5²/(2·12) = 3.01 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3.01/9.81 = 0.3069

答案

μ = 0.3069

4.牛顿定律

答案: a = 4.963 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 6.867)/8.5 = 4.963 m/s²

答案

a = 4.963 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 2.929 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 25° = 30.81 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 25° = 14.37 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·14.37/9.81 = 2.929 s

答案

t = 2.929 s

6.抛体运动

答案: t = 3.624 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 19·cos 30° = 16.45 m/s

v_y = v₀·sin θ = 19·sin 30° = 9.5 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 9.5·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.5 + √(90.25 + 588.6))/9.81 = 3.624 s

答案

t = 3.624 s

7.圆周运动

答案: N = 14410 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r

N = 1700·9.81 − 1700·10²/75 = 16677 − 2267 = 14410 N

答案

N = 14410 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: N_top = 188.4 N

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·(17.15 − 2·3.5) = 199.1 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R − m·g = 4·199.1/3.5 − 39.24 = 188.4 N

答案

N_top = 188.4 N

9.功和能

答案: P = 59.89 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 1800·9.81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 6° = 1846 N

F = 1846 + 550 = 2396 N

功率

v = 90/3.6 = 25 m/s

P = F·v = 2396·25 = 59894 W = 59.89 kW

答案

P = 59.89 kW

10.功和能

答案: d = 0.331 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·1000·0.1² = 5 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 5/(29.43·(0.4226 + 0.1·0.9063)) = 0.331 m

答案

d = 0.331 m

11.动量与碰撞

答案: v′₁ = 2.333 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1 − 0.5)/(1 + 0.5)·7 = 2.333 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 0.5)·7 = 9.333 m/s

答案

v′₁ = 2.333 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 26.97 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·15.5) = 15.1 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2500·15.1/1400 = 26.97 m/s

答案

v₁ = 26.97 m/s

(97.09 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: L = 2.09 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.9/2π)² = 2.09 m

答案

L = 2.09 m

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.4 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = 2π/T = 2π/2.4 = 2.618 rad/s

求解时间

0.5 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.5) = 1.047 rad

t = 1.047/2.618 = 0.4 s

答案

t = 0.4 s

15.波、声与光学

答案: θ_c = 47.33 °

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

折射角为 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.00/1.36 = 0.7353

临界角

θc = arcsin(0.7353) = 47.33°

答案

θ_c = 47.33°

16.波、声与光学

答案: λ = 650 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = y·d/(mL) = 0.0065·0.0003/(1·3) = 6.5 × 10⁻⁷ m = 650 nm

答案

λ = 650 nm

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