物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 4 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1200 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 4 m/s²s = 1200 m

v = m/s

2.运动学困难

从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 6 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 6 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 4 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 8.2 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 4 m/sd = 8.2 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 8.5 m/s 的速度开始沿 35° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 8.5 m/sθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 20 m/s 抛出，必须落在 15 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 20 m/sR = 15 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 22 m/sθ = 30°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一位道路工程师希望汽车以 40 km/h 通过半径为 180 m 的弯道时不依赖摩擦力。取 g = 9.81 m/s²。求弯道的倾角 θ。

r = 180 mv = 40 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.圆周运动困难

一个 0.7 kg 的小球系在长 0.9 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.7 kgr = 0.9 mv = 6 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 10 kg 的物块沿倾角 25° 的斜面下滑 4 m，动摩擦因数为 0.1。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 10 kgθ = 25°μ = 0.1d = 4 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

在 15° 斜坡底部有一根刚度为 3000 N/m 的弹簧，它顶着一个 1 kg 的物块被压缩 20 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.25。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 1 kgk = 3000 N/mx = 20 cmθ = 15°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

一个以 24 m/s 水平运动的 8 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。7 kg 的碎片以 49 m/s 继续向前运动。求 1 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 8 kgu = 24 m/sm₁ = 7 kgv′₁ = 49 m/sm₂ = 1 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.6 kg 的小球以 30 m/s 撞到墙上，并以 20 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.6 kgv_in = 30 m/sv_out = 20 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 40 N/m 弹簧上的 3.4 kg 物体被沿正方向拉开 6 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.35 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 3.4 kgk = 40 N/mA = 6 cmt = 0.35 s

x = cm

14.弹簧与单摆困难

把一个 2.9 kg 的物体挂在一根 k = 420 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的最大速度 v_max。

m = 2.9 kgk = 420 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

15.波、声与光学中等

两端开口的管的第 2 次谐波必须为 686 Hz。声速为 343 m/s。求管长 L。

v = 343 m/sn = 2f₂ = 686 Hz

L = m

16.波、声与光学困难

波长为 550 nm 的光通过一条宽 0.1 mm 的单缝。求第 1 条暗条纹偏离直进方向的角度 θ₁。

λ = 550 nma = 0.1 mmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.运动学

答案: v = 97.98 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·4·1200) = 97.98 m/s

答案

v = 97.98 m/s

(352.7 km/h)

2.运动学

答案: h_max = 6.835 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 6²/(2·9.81) = 1.835 m

离地面的高度

h_max = 5 + 1.835 = 6.835 m

答案

h_max = 6.835 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.09945

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 4²/(2·8.2) = 0.9756 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.9756/9.81 = 0.09945

答案

μ = 0.09945

4.牛顿定律

答案: d = 5.287 m

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 35° + 0.15·cos 35°) = 6.832 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 8.5²/(2·6.832) = 5.287 m

答案

d = 5.287 m

5.抛体运动

答案: θ = 10.79 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·15/20² = 0.3679

相角

2θ = 21.58° → θ = 10.79°

答案

θ = 10.79°

另一个解为 90° − θ = 79.21°。

6.抛体运动

答案: x = 69.39 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 30° = 19.05 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 30° = 11 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 25 + 11·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (11 + √(121 + 490.5))/9.81 = 3.642 s

水平距离

x = v_x·t = 19.05·3.642 = 69.39 m

答案

x = 69.39 m

7.圆周运动

答案: θ = 3.999 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

单位

v = 40/3.6 = 11.11 m/s

弯道倾角

tan θ = v²/(r·g) = 11.11²/(180·9.81) = 0.06992

θ = 3.999°

答案

θ = 3.999°

8.圆周运动

答案: T = 34.87 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.7·9.81 + 0.7·6²/0.9 = 6.867 + 28 = 34.87 N

答案

T = 34.87 N

9.功和能

答案: W_f = 35.56 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.9063 = 88.91 N

F = μN = 0.1·88.91 = 8.891 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 8.891·4 = 35.56 J

答案

W_f = 35.56 J

10.功和能

答案: d = 12.23 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·3000·0.2² = 60 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 60/(9.81·(0.2588 + 0.25·0.9659)) = 12.23 m

答案

d = 12.23 m

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −151 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 8·24 = 192 kg·m/s

碰撞后的动量

192 = 7·49 + 1·v′₂

v′₂ = (192 − 343)/1 = −151 m/s

答案

v′₂ = −151 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: J = 30 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.6·(20 + 30) = 30 N·s

答案

J = 30 N·s

13.弹簧与单摆

答案: x = 2.171 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(40/3.4) = 3.43 rad/s

ω·t = 3.43·0.35 = 1.2 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 6·cos(1.2) = 2.171 cm

答案

x = 2.171 cm

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.8152 m/s

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 2.9·9.81/420 = 0.06774 m = A

最大速度

速度在平衡位置处最大。

ω = √(420/2.9) = 12.03 rad/s

v_max = A·ω = 0.06774·12.03 = 0.8152 m/s

答案

v_max = 0.8152 m/s

15.波、声与光学

答案: L = 0.5 m

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

波长

λ = v/f = 343/686 = 0.5 m

长度

L = nλ/2 = 2·0.5/2 = 0.5 m

答案

L = 0.5 m

16.波、声与光学

答案: θ₁ = 0.3151 °

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

暗条纹条件

sin θ = mλ/a = 0.0055

θ = 0.3151°

答案

θ₁ = 0.3151°

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