物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

三个点电荷位于一条直线上：左边为 −5 µC，右边相距 10 cm 处为 +8 µC，两者之间距左边电荷 2.5 cm 处为 +5 µC。求中间电荷所受合电场力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −5 µCq_R = +8 µCq_M = +5 µCr_L = 2.5 cmr_R = 7.5 cm

F = N

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 10 µC 位于直角顶点，q₁ = 2 µC 沿一条直角边距它 8 cm，q₂ = 3 µC 沿另一条直角边距它 3 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 2 µCq₂ = 3 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 12 VR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

4.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 75%？求 t。

V_s = 6 VR = 15 ΩL = 47 mH

t = ms

6.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 75 ms 时流过 R₂ 的电流 i₂。

V_s = 9 VR₁ = 10 kΩR₂ = 4.7 kΩC = 22 µFt = 75 ms

i₂ = mA

7.磁场与电磁感应中等

一个圆形回路位于磁场方向为垂直穿出纸面的均匀磁场中。磁场强度正在减小。点选图中所见的回路感应电流方向。

B: 垂直穿出纸面dB/dt < 0

1顺时针
2逆时针

8.磁场与电磁感应困难

一个长空心螺线管有 800 匝，长度为 25 cm，直径为 2.5 cm。当它通有 1 A 的电流时，求其磁场中储存的能量 W。

N = 800l = 25 cm⌀ = 2.5 cmI = 1 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、100 Hz 的电源上。求从电源吸取的有功功率 P。

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 47 µF

P = W

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、60 Hz 的电源上。求电容两端电压的有效值 V_C。

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 47 µF

V_C = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 423.5 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

每个电荷产生的力

向右为正。

F_L = −k·5·5 × 10⁻¹²/0.025² = −359.6 N

F_R = −k·8·5 × 10⁻¹²/0.075² = −63.93 N

合力

F = −359.6 + (−63.93) = −423.5 N → |F| = 423.5 N

答案

F = 423.5 N

合力向左。

2.库仑定律与电场

答案: F = 301 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·2·10 × 10⁻¹²/0.08² = 28.09 N

F₂ = k·3·10 × 10⁻¹²/0.03² = 299.7 N

矢量和

F = √(28.09² + 299.7²) = 301 N

答案

F = 301 N

3.串并联电阻

答案: I_R2 = 1.838 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 15 + 2 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 3·17/(3+17) = 2.55 Ω

R_eq = R₁ + 2.55 = 3 + 2.55 = 5.55 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/5.55 = 2.162 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 2.162·3 = 5.514 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5.514/3 = 1.838 A

答案

I_R2 = 1.838 A

4.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.104 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 5 + 2 = 7 Ω

R₄ ∥ 7 = 2.545 Ω

R₃ + 2.545 = 12.55 Ω

R₂ ∥ 12.55 = 4.059 Ω

R_eq = R₁ + 4.059 = 5 + 4.059 = 9.059 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/9.059 = 1.104 A

答案

I_R1 = 1.104 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 4.344 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 47 mH / 15 Ω = 3.133 ms

i(∞) = V_s/R = 6/15 = 0.4 A

求解时间

0.75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.75)

t = −3.133·ln(0.25) = 4.344 ms

答案

t = 4.344 ms

6.RC 和 RL 暂态

答案: i₂ = 0.2964 mA

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 9·4.7/(10 + 4.7) = 2.878 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 4.7·22 = 103.4 ms

放电

v_C(t) = 2.878·e^−75/103.4 = 1.393 V

i₂ = v_C/R₂ = 1.393/4.7 = 0.2964 mA

答案

i₂ = 0.2964 mA

7.磁场与电磁感应

答案: 逆时针

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

磁通量的变化

进入纸面的磁通量增大，或穿出纸面的磁通量减小。

感应电流的磁场

感应电流阻碍这一变化。

回路内部的感应磁场：穿出纸面。

电流的方向

右手螺旋定则：逆时针电流在回路内部产生穿出纸面的磁场。

逆时针

答案

逆时针

8.磁场与电磁感应

答案: W = 789.6 µJ

自感

L = μ₀N²A/l = 1.579 mH

储存的能量

W = ½LI² = ½·0.001579·1² = 0.0007896 J = 789.6 µJ

答案

W = 789.6 µJ

9.交流阻抗和相量

答案: P = 19.91 W

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

X_L = 94.25 Ω, X_C = 33.86 Ω

阻抗

|Z| = √(80² + (60.39)²) = 100.2 Ω

有功功率

电感和电容只储存和释放能量；全部有功功率都由电阻吸收。

I = 50/100.2 = 0.4988 A

P = I²·R = 0.4988²·80 = 19.91 W

答案

P = 19.91 W

10.交流阻抗和相量

答案: V_C = 128.2 V

电抗

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0.02 = 7.54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56.44 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (−48.9)²) = 52.83 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 120/52.83 = 2.271 A

电容电压

V_C = I·X_C = 2.271·56.44 = 128.2 V

答案

V_C = 128.2 V

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