库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +2 µC 的电荷与一个 −4 µC 的电荷相距 40 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 20 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +2 µCq2 = −4 µCr1 = 20 cmr2 = 20 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
一个电子以 3 × 10⁷ m/s 的速度平行于两块平行板射入板间的匀强电场。板长 4 cm，板间电场为 5000 N/C。电子电荷量 1.602 × 10⁻¹⁹ C，质量 9.109 × 10⁻³¹ kg；忽略重力。电子离开平行板时侧向偏移多远 y？答案以 mm 表示。
v₀ = 3 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 5000 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.串并联电阻中等
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 12 VR1 = 2 ΩR2 = 10 ΩR3 = 20 ΩR4 = 6 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 10 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 5 ΩR4 = 15 ΩR5 = 6 ΩR6 = 2 Ω
IR1 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。
Vs = 5 VR = 22 ΩL = 68 mH
W(∞) = mJ
6.RC 和 RL 暂态困难
跨接在 R2 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R2 短路。 求 t = 10 ms 时的电感电流 i。
Vs = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩL = 47 mHt = 10 ms
i = A
7.磁场与电磁感应中等
一个 100 匝线圈的面积为 150 cm²。垂直于线圈的均匀磁场在 10 ms 内从 0.2 T 均匀增大到 0.8 T。 求平均感应电动势 ε。
N = 100A = 150 cm²B: 0.2 T → 0.8 TΔt = 10 ms
ε = V
8.磁场与电磁感应困难
一个 200 匝、20 cm × 15 cm 的线圈在 0.25 T 的均匀磁场中，以 1500 rpm 绕垂直于磁场的轴转动。求电动势的有效值 Erms。
N = 200A = 20 cm × 15 cmB = 0.25 Tn = 1500 rpm
Erms = V
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 10 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。
V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 20 ΩL = 150 mHC = 1 µF
VC = V
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 1.348 × 10⁶ N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·2 × 10⁻⁶/0.2² = 449500 N/C
E2 = k·4 × 10⁻⁶/0.2² = 899000 N/C
方向与合成
第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。
E = |449500 + 899000| = 1.348 × 10⁶ N/C
答案
E = 1.348 × 10⁶ N/C
2.库仑定律与电场
答案: y = 0.7816 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
在板间的时间
t = L/v₀ = 0.04/3 × 10⁷ = 1.333 × 10⁻⁹ s
侧向加速度
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·5000/9.109 × 10⁻³¹ = 8.794 × 10¹⁴ m/s²
挠度
y = ½·a·t² = ½·8.794 × 10¹⁴·(1.333 × 10⁻⁹)² = 0.0007816 m = 0.7816 mm
答案
y = 0.7816 mm
电子被推向正极板，与电场方向相反。
3.串并联电阻
答案: IR1 = 1.301 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 20 + 6 = 26 Ω
R2 ∥ 26 = 10·26/(10+26) = 7.222 Ω
Req = R1 + 7.222 = 2 + 7.222 = 9.222 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 12/9.222 = 1.301 A
答案
IR1 = 1.301 A
4.串并联电阻
答案: IR1 = 0.6984 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 6 + 2 = 8 Ω
R4 ∥ 8 = 5.217 Ω
R3 + 5.217 = 10.22 Ω
R2 ∥ 10.22 = 2.319 Ω
Req = R1 + 2.319 = 12 + 2.319 = 14.32 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 10/14.32 = 0.6984 A
答案
IR1 = 0.6984 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: W(∞) = 1.756 mJ
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 68 mH / 22 Ω = 3.091 ms
i(∞) = Vs/R = 5/22 = 0.2273 A
储存的能量
W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·68·0.2273² = 1.756 mJ
答案
W(∞) = 1.756 mJ
6.RC 和 RL 暂态
答案: i = 2.482 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。
i(0) = 15/(5 + 5) = 1.5 A
i(∞) = 15/5 = 3 A
τ = L/R = 47/5 = 9.4 ms
i(t) = 3 + (1.5 − 3)·e−t/τ
给定时刻的电流
i(10) = 3 + (−1.5)·e−10/9.4 = 2.482 A
答案
i = 2.482 A
7.磁场与电磁感应
答案: ε = 90 V
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
每匝的磁通量变化
ΔΦ = (0.8 − 0.2)·0.015 = 0.009 Wb
平均电动势
ε = NΔΦ/Δt = 100·0.009/0.01 = 90 V
答案
ε = 90 V
8.磁场与电磁感应
答案: Erms = 166.6 V
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
角速度与面积
ω = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
A = 0.03 m²
峰值电动势
E₀ = NBAω = 200·0.25·0.03·157.1 = 235.6 V
有效值
Erms = 235.6/√2 = 166.6 V
答案
Erms = 166.6 V
9.交流阻抗和相量
答案: I = 0.3626 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.15 = 47.12 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·10·10⁻⁶) = 318.3 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (−271.2)²) = 275.8 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 100/275.8 = 0.3626 A
答案
I = 0.3626 A
10.交流阻抗和相量
答案: VC = 247.7 V
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.15 = 471.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318.3 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (152.9)²) = 154.2 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 120/154.2 = 0.7781 A
电容电压
VC = I·XC = 0.7781·318.3 = 247.7 V
答案
VC = 247.7 V
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism