库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +8 µC 的电荷与一个 +4 µC 的电荷相距 20 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 12 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +8 µCq2 = +4 µCr1 = 12 cmr2 = 8 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 4 µC 位于直角顶点，q₁ = 4 µC 沿一条直角边距它 4 cm，q₂ = 5 µC 沿另一条直角边距它 5 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。
q1 = 4 µCq2 = 5 µCq3 = 4 µCr13 = 4 cmr23 = 5 cm
F = N
3.串并联电阻中等
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 15 VR1 = 8 ΩR2 = 10 ΩR3 = 8 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 15 VR1 = 20 ΩR2 = 12 ΩR3 = 10 ΩR4 = 2 ΩR5 = 5 ΩR6 = 10 Ω
IR1 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
电感中流过 0.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 1 ms 时 R 两端的电压 vR。
i(0) = 0.5 AR = 68 ΩL = 22 mHt = 1 ms
vR = V
6.RC 和 RL 暂态困难
跨接在 R2 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 求 t = 1 ms 时的电感电流 i。
Vs = 20 VR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩL = 22 mHt = 1 ms
i = A
7.磁场与电磁感应中等
一个质子在 0.25 T 的均匀磁场中做圆周运动。求它转一圈所需的时间 T。
m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CB = 0.25 T
T = ns
8.磁场与电磁感应困难
一个长空心螺线管有 500 匝，长度为 15 cm，直径为 1.5 cm。当它通有 5 A 的电流时，求其磁场中储存的能量 W。
N = 500l = 15 cm⌀ = 1.5 cmI = 5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = mJ
9.交流阻抗和相量中等
一个电阻和一个电感并联接在 230 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 60 ΩL = 200 mH
I = A
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。
V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 22 µF
VC = V
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 624306 N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·8 × 10⁻⁶/0.12² = 4.994 × 10⁶ N/C
E2 = k·4 × 10⁻⁶/0.08² = 5.619 × 10⁶ N/C
方向与合成
两个电荷都是正的：在 P 点，它们的电场各自背离对应的电荷，因此方向相反。
E = |4.994 × 10⁶ − 5.619 × 10⁶| = 624306 N/C
答案
E = 624306 N/C
2.库仑定律与电场
答案: F = 115.1 N
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
q₃ 所受的各个力
F1 = k·4·4 × 10⁻¹²/0.04² = 89.9 N
F2 = k·5·4 × 10⁻¹²/0.05² = 71.92 N
矢量和
F = √(89.9² + 71.92²) = 115.1 N
答案
F = 115.1 N
3.串并联电阻
答案: IR2 = 0.6081 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 8 + 4 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 10·12/(10+12) = 5.455 Ω
Req = R1 + 5.455 = 8 + 5.455 = 13.45 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 15/13.45 = 1.115 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 1.115·8 = 6.081 V
IR2 = VA/R2 = 6.081/10 = 0.6081 A
答案
IR2 = 0.6081 A
4.串并联电阻
答案: IR1 = 0.5782 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 5 + 10 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 1.765 Ω
R3 + 1.765 = 11.76 Ω
R2 ∥ 11.76 = 5.941 Ω
Req = R1 + 5.941 = 20 + 5.941 = 25.94 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 15/25.94 = 0.5782 A
答案
IR1 = 0.5782 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: vR = 1.546 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数
τ = L/R = 22 mH / 68 Ω = 0.3235 ms
电流的衰减
i(t) = 0.5·e−1/0.3235 = 0.02273 A
vR = R·i = 68·0.02273 = 1.546 V
答案
vR = 1.546 V
6.RC 和 RL 暂态
答案: i = 1.134 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。
i(0) = 20/15 = 1.333 A
i(∞) = 20/(15 + 5) = 1 A
τ = L/R = 22/20 = 1.1 ms
i(t) = 1 + (1.333 − 1)·e−t/τ
给定时刻的电流
i(1) = 1 + (0.3333)·e−1/1.1 = 1.134 A
答案
i = 1.134 A
7.磁场与电磁感应
答案: T = 262.5 ns
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
圆周运动的周期
更快的粒子沿更大的圆运动，所以每转一圈的时间保持不变。
T = 2πm/(|q|B) = 2π·1.673 × 10⁻²⁷/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.25) = 262.5 ns
答案
T = 262.5 ns
不需要速率：这就是回旋加速器可以使用一个固定频率的原因。
8.磁场与电磁感应
答案: W = 4.626 mJ
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
自感
L = μ₀N²A/l = 370.1 µH
储存的能量
W = ½LI² = ½·0.0003701·5² = 0.004626 J = 4.626 mJ
答案
W = 4.626 mJ
9.交流阻抗和相量
答案: I = 4.899 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XL = ωL = 2π·60·0.2 = 75.4 Ω
支路电流
两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。
IR = V/R = 230/60 = 3.833 A
IX = V/XL = 230/75.4 = 3.05 A
总电流
电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。
I = √(IR² + IX²) = √(3.833² + 3.05²) = 4.899 A
答案
I = 4.899 A
10.交流阻抗和相量
答案: VC = 13.37 V
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.05 = 15.71 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (−129)²) = 129.8 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 12/129.8 = 0.09242 A
电容电压
VC = I·XC = 0.09242·144.7 = 13.37 V
答案
VC = 13.37 V
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