物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

一个 +10 µC 的电荷与一个 +1 µC 的电荷相距 20 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 15 cm。求 P 点电场强度的大小 E。

q₁ = +10 µCq₂ = +1 µCr₁ = 15 cmr₂ = 5 cm

E = N/C

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 5 µC 位于直角顶点，q₁ = 4 µC 沿一条直角边距它 6 cm，q₂ = 6 µC 沿另一条直角边距它 10 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 4 µCq₂ = 6 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 12 VR₁ = 3 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 12 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 4 Ω

I_R1 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 2 ms 时的电流 i。

V_s = 5 VR = 100 ΩL = 150 mHt = 2 ms

i = A

6.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 500 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 12 VR₁ = 1 kΩR₂ = 10 kΩC = 100 µFt = 500 ms

v_C = V

7.磁场与电磁感应中等

一根长 60 cm 的金属杆以 2 m/s 的速度沿两条导轨滑动，处于垂直进入纸面的 0.1 T 均匀磁场中。求其两端之间的感应电动势 ε。

B = 0.1 TL = 60 cmv = 2 m/s

ε = mV

8.磁场与电磁感应困难

一个 20 mH 的电感中，电流在 1 ms 内从 6 A 均匀变化到 2 A。求自感电动势的大小 ε。

L = 20 mH6 A → 2 AΔt = 1 ms

ε = V

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、100 Hz 的电源上。求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 250 mHC = 4.7 µF

φ = °

10.交流阻抗和相量困难

电阻 R₁ 与 R₂ 和电容 C 的并联组合串联，接在 12 V（有效值）、100 Hz 的电源上。求阻抗的模 |Z|。

V = 12 V (rms)f = 100 HzR₁ = 20 ΩR₂ = 150 ΩC = 4.7 µF

|Z| = Ω

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: E = 399556 N/C

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

各电荷的电场

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0.15² = 3.996 × 10⁶ N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0.05² = 3.596 × 10⁶ N/C

方向与合成

两个电荷都是正的：在 P 点，它们的电场各自背离对应的电荷，因此方向相反。

E = |3.996 × 10⁶ − 3.596 × 10⁶| = 399556 N/C

答案

E = 399556 N/C

2.库仑定律与电场

答案: F = 56.76 N

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·4·5 × 10⁻¹²/0.06² = 49.94 N

F₂ = k·6·5 × 10⁻¹²/0.1² = 26.97 N

矢量和

F = √(49.94² + 26.97²) = 56.76 N

答案

F = 56.76 N

3.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.009 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 20·16/(20+16) = 8.889 Ω

R_eq = R₁ + 8.889 = 3 + 8.889 = 11.89 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/11.89 = 1.009 A

答案

I_R1 = 1.009 A

4.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.6005 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 5 + 4 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 1.636 Ω

R₃ + 1.636 = 6.636 Ω

R₂ ∥ 6.636 = 4.983 Ω

R_eq = R₁ + 4.983 = 15 + 4.983 = 19.98 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/19.98 = 0.6005 A

答案

I_R1 = 0.6005 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.03682 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 100 Ω = 1.5 ms

i(∞) = V_s/R = 5/100 = 0.05 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.05·(1 − e^−2/1.5) = 0.03682 A

答案

i = 0.03682 A

6.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 6.617 V

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 12·10/(1 + 10) = 10.91 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 10·100 = 1000 ms

放电

v_C(t) = 10.91·e^−500/1000 = 6.617 V

答案

v_C = 6.617 V

7.磁场与电磁感应

答案: ε = 120 mV

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

动生电动势

ε = BLv = 0.1·0.6·2 = 0.12 V

答案

ε = 120 mV

8.磁场与电磁感应

答案: ε = 80 V

自感电动势

电动势阻碍电流的变化（楞次定律），所以它的符号与 ΔI 相反；大小为 L·|ΔI|/Δt。

ε = L·ΔI/Δt = 0.02·4/0.001 = 80 V

答案

ε = 80 V

9.交流阻抗和相量

答案: φ = −77.57 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.25 = 157.1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·4.7·10⁻⁶) = 338.6 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−181.5)²) = 185.9 Ω

相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−181.5/40) = −77.57°

答案

φ = −77.57°

10.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 155.6 Ω

电抗

X_C = 1/(2π·100·4.7·10⁻⁶) = 338.6 Ω

并联组合

分子分母同乘以共轭复数，把 Z_p 分成实部和虚部。

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 125.4 − j55.55 Ω

总阻抗

Z = 20 + 125.4 − j55.55 = 145.4 − j55.55 Ω

|Z| = √(145.4² + 55.55²) = 155.6 Ω

答案

|Z| = 155.6 Ω

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