物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

+2 µC 和 +1 µC 的两个电荷相距 80 cm。在两者之间的连线上，距 +2 µC 电荷多远 x 处电场为零？

q₁ = +2 µCq₂ = +1 µCd = 80 cm

x = cm

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 10 µC 位于直角顶点，q₁ = 10 µC 沿一条直角边距它 6 cm，q₂ = 6 µC 沿另一条直角边距它 4 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 10 µCq₂ = 6 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

4.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 15 Ω

R_eq = Ω

5.RC 和 RL 暂态中等

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。开关在 t = 0 闭合时电容未充电。求开关闭合后电路的时间常数 τ。

V_s = 15 VR₁ = 10 kΩR₂ = 6.8 kΩC = 10 µF

τ = ms

6.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 6 V，极性如图所示。求 t = 80 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 24 VR = 1 kΩC = 100 µFv_C(0) = 6 Vt = 80 ms

v_C = V

7.磁场与电磁感应中等

两根相距 15 cm 的长平行导线通有同方向的 2 A 和 15 A 电流。求它们之间每米长度所受的力 F/L。

I₁ = 2 AI₂ = 15 Ad = 15 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.磁场与电磁感应困难

在速度选择器中，正交的电场 E = 4 × 10⁴ V/m 和磁场 B = 0.5 T 只允许一种速率的离子直线通过。求该速率 v。

E = 4 × 10⁴ V/mB₁ = 0.5 T

v = m/s

9.交流阻抗和相量中等

一个 L = 10 mH 的 RLC 串联电路必须在 100 Hz 发生谐振。求所需的电容 C。

f₀ = 100 HzL = 10 mH

C = µF

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、100 Hz 的电源上。求电容两端电压的有效值 V_C。

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 22 µF

V_C = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: x = 46.86 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

电场相等

2/x² = 1/(80 − x)²

(80 − x)/x = √(1/2) = 0.7071

位置

x = 80/(1 + 0.7071) = 46.86 cm

答案

x = 46.86 cm

零点总是更靠近较小的电荷。

2.库仑定律与电场

答案: F = 419.5 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·10·10 × 10⁻¹²/0.06² = 249.7 N

F₂ = k·6·10 × 10⁻¹²/0.04² = 337.1 N

矢量和

F = √(249.7² + 337.1²) = 419.5 N

答案

F = 419.5 N

3.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.463 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 8 + 12 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 12·20/(12+20) = 7.5 Ω

R_eq = R₁ + 7.5 = 6 + 7.5 = 13.5 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/13.5 = 0.7407 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0.7407·6 = 5.556 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5.556/12 = 0.463 A

答案

I_R2 = 0.463 A

4.串并联电阻

答案: R_eq = 4.756 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 3 + 15 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 3.913 Ω

R₃ + 3.913 = 33.91 Ω

R₂ ∥ 33.91 = 2.756 Ω

R_eq = R₁ + 2.756 = 2 + 2.756 = 4.756 Ω

答案

R_eq = 4.756 Ω

5.RC 和 RL 暂态

答案: τ = 40.48 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 R_th；把电容断开，求它最终稳定的电压。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·6.8/(10 + 6.8) = 4.048 kΩ

v_C(∞) = 15·6.8/(10 + 6.8) = 6.071 V

时间常数

τ = R_th·C = 4.048·10 = 40.48 ms

答案

τ = 40.48 ms

6.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 15.91 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms

v_C(t) = 24 + (6 − 24)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(80) = 24 + (−18)·e^−80/100 = 15.91 V

答案

v_C = 15.91 V

7.磁场与电磁感应

答案: F/L = 40 µN/m

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

每米长度所受的力

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·2·15/0.15 = 40 µN/m

答案

F/L = 40 µN/m

同方向的电流相互吸引。

8.磁场与电磁感应

答案: v = 80000 m/s

选出的速率

不偏转：电力 qE 与磁力 qvB 平衡。

v = E/B₁ = 4 × 10⁴/0.5 = 80000 m/s

答案

v = 80000 m/s

9.交流阻抗和相量

答案: C = 253.3 µF

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·100 = 628.3 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(628.3²·0.01) = 253.3 µF

答案

C = 253.3 µF

10.交流阻抗和相量

答案: V_C = 275.8 V

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.1 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·22·10⁻⁶) = 72.34 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−9.511)²) = 31.47 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 120/31.47 = 3.813 A

电容电压

V_C = I·X_C = 3.813·72.34 = 275.8 V

答案

V_C = 275.8 V

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