物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

一个 +5 µC 的电荷与一个 −4 µC 的电荷相距 10 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 7.5 cm。求 P 点电场强度的大小 E。

q₁ = +5 µCq₂ = −4 µCr₁ = 7.5 cmr₂ = 2.5 cm

E = N/C

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 3 µC 位于直角顶点，q₁ = 3 µC 沿一条直角边距它 3 cm，q₂ = 1 µC 沿另一条直角边距它 8 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 3 µCq₂ = 1 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

4.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 5 Ω

I_R2 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 0.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。求 t = 1 ms 时的电流 i。

i(0) = 0.5 AR = 68 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

6.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 9 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 5.69 V 时它必须触发，恰好在开始后 500 ms。已知 C = 47 µF，求所需的电阻 R。

V_s = 9 VV_th = 5.69 VT = 500 msC = 47 µF

R = kΩ

7.磁场与电磁感应中等

两根相距 8 cm 的长平行导线通有反方向的 10 A 和 8 A 电流。求它们之间每米长度所受的力 F/L。

I₁ = 10 AI₂ = 8 Ad = 8 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.磁场与电磁感应困难

在速度选择器中，正交的电场 E = 1 × 10⁴ V/m 和磁场 B = 0.2 T 只允许一种速率的离子直线通过。求该速率 v。

E = 1 × 10⁴ V/mB₁ = 0.2 T

v = m/s

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、500 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 1 µF

I = A

10.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路的 R = 2 Ω，L = 50 mH，C = 10 µF。求其谐振时的品质因数 Q。

R = 2 ΩL = 50 mHC = 10 µF

Q =

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: E = 6.553 × 10⁷ N/C

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

各电荷的电场

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0.075² = 7.991 × 10⁶ N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0.025² = 5.754 × 10⁷ N/C

方向与合成

第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。

E = |7.991 × 10⁶ + 5.754 × 10⁷| = 6.553 × 10⁷ N/C

答案

E = 6.553 × 10⁷ N/C

2.库仑定律与电场

答案: F = 90 N

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·3·3 × 10⁻¹²/0.03² = 89.9 N

F₂ = k·1·3 × 10⁻¹²/0.08² = 4.214 N

矢量和

F = √(89.9² + 4.214²) = 90 N

答案

F = 90 N

3.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.345 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 5 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 6·17/(6+17) = 4.435 Ω

R_eq = R₁ + 4.435 = 3 + 4.435 = 7.435 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/7.435 = 1.345 A

答案

I_R1 = 1.345 A

4.串并联电阻

答案: I_R2 = 1.006 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 5 + 5 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 3.333 Ω

R₃ + 3.333 = 15.33 Ω

R₂ ∥ 15.33 = 6.732 Ω

R_eq = R₁ + 6.732 = 10 + 6.732 = 16.73 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/16.73 = 1.793 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1.793·10 = 12.07 V

I_R2 = V_A/R₂ = 12.07/12 = 1.006 A

答案

I_R2 = 1.006 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.0005569 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 10 mH / 68 Ω = 0.1471 ms

电流的衰减

i(t) = 0.5·e^−1/0.1471 = 0.0005569 A

答案

i = 0.0005569 A

6.RC 和 RL 暂态

答案: R = 10.64 kΩ

所需的时间常数

5.69 = 9·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(9/(9 − 5.69))

τ = 500/1 = 499.9 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 499.9/47 = 10.64 kΩ

答案

R = 10.64 kΩ

7.磁场与电磁感应

答案: F/L = 200 µN/m

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

每米长度所受的力

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·10·8/0.08 = 200 µN/m

答案

F/L = 200 µN/m

反方向的电流相互排斥。

8.磁场与电磁感应

答案: v = 50000 m/s

选出的速率

不偏转：电力 qE 与磁力 qvB 平衡。

v = E/B₁ = 1 × 10⁴/0.2 = 50000 m/s

答案

v = 50000 m/s

9.交流阻抗和相量

答案: I = 0.03888 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.02 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318.3 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−255.5)²) = 257.2 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 10/257.2 = 0.03888 A

答案

I = 0.03888 A

10.交流阻抗和相量

答案: Q = 35.36

谐振频率

f₀ = 1/(2π·√(0.05·10·10⁻⁶)) = 225.1 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0.05/(10·10⁻⁶)) = 35.36

答案

Q = 35.36

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