库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
两个相同的金属小球分别带有 +4 µC 和 −6 µC 的电荷。让它们接触后再放回相距 30 cm 处。求此时它们之间作用力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +4 µCq2 = −6 µCr = 30 cm
F = N
2.库仑定律与电场困难
三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 10 µC 位于直角顶点，q₁ = 8 µC 沿一条直角边距它 6 cm，q₂ = 1 µC 沿另一条直角边距它 8 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。
q1 = 8 µCq2 = 1 µCq3 = 10 µCr13 = 6 cmr23 = 8 cm
F = N
3.串并联电阻中等
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 30 VR1 = 6 ΩR2 = 10 ΩR3 = 20 ΩR4 = 20 Ω
Req = Ω
4.串并联电阻困难
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 12 VR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 12 ΩR4 = 15 ΩR5 = 12 ΩR6 = 8 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
电感中流过 0.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 电流降到 0.1 A 需要多长时间？求 t。
i(0) = 0.5 AR = 50 ΩL = 100 mH
t = ms
6.RC 和 RL 暂态困难
一个定时器在 t = 0 时开始用 12 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 9.6 V 时它必须触发，恰好在开始后 10 ms。 已知 R = 2.2 kΩ，求所需的电容 C。
Vs = 12 VVth = 9.6 VT = 10 msR = 2.2 kΩ
C = µF
7.磁场与电磁感应中等
一个电子以 1 × 10⁶ m/s 的速度垂直于 2 mT 的均匀磁场运动。求其圆形轨迹的半径 r。
m = 9.109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 1 × 10⁶ m/sB = 2 mT
r = cm
8.磁场与电磁感应困难
一个 100 匝、8 cm × 10 cm 的线圈在 0.05 T 的均匀磁场中，以 1200 rpm 绕垂直于磁场的轴转动。求峰值电动势 E0。
N = 100A = 8 cm × 10 cmB = 0.05 Tn = 1200 rpm
E0 = V
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 22 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 22 µF
I = A
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: F = 0.09989 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
接触后的电荷
q′ = (4 + −6)/2 = −1 µC
新的作用力
F = 8.99 × 10⁹·(1 × 10⁻⁶)²/0.3² = 0.09989 N
答案
F = 0.09989 N
现在两个小球带同种电荷，所以相互排斥。
2.库仑定律与电场
答案: F = 200.3 N
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
q₃ 所受的各个力
F1 = k·8·10 × 10⁻¹²/0.06² = 199.8 N
F2 = k·1·10 × 10⁻¹²/0.08² = 14.05 N
矢量和
F = √(199.8² + 14.05²) = 200.3 N
答案
F = 200.3 N
3.串并联电阻
答案: Req = 14 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 20 + 20 = 40 Ω
R2 ∥ 40 = 10·40/(10+40) = 8 Ω
Req = R1 + 8 = 6 + 8 = 14 Ω
答案
Req = 14 Ω
4.串并联电阻
答案: Req = 13.35 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 12 + 8 = 20 Ω
R4 ∥ 20 = 8.571 Ω
R3 + 8.571 = 20.57 Ω
R2 ∥ 20.57 = 3.349 Ω
Req = R1 + 3.349 = 10 + 3.349 = 13.35 Ω
答案
Req = 13.35 Ω
5.RC 和 RL 暂态
答案: t = 3.219 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数
τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms
求解时间
0.1 = 0.5·e−t/τ → t = τ·ln(0.5/0.1)
t = 2·ln(5) = 3.219 ms
答案
t = 3.219 ms
6.RC 和 RL 暂态
答案: C = 2.824 µF
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
所需的时间常数
9.6 = 12·(1 − e−10/τ) → τ = 10/ln(12/(12 − 9.6))
τ = 10/1.609 = 6.213 ms
电容
kΩ 乘以 µF 得到毫秒。
C = τ/R = 6.213/2.2 = 2.824 µF
答案
C = 2.824 µF
7.磁场与电磁感应
答案: r = 0.2843 cm
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
力的平衡
磁力总是垂直于速度，所以它使轨迹弯曲成圆。
|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)
半径
r = 9.109 × 10⁻³¹·1 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.002) = 0.002843 m = 0.2843 cm
答案
r = 0.2843 cm
8.磁场与电磁感应
答案: E0 = 5.027 V
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
角速度与面积
ω = 2π·1200/60 = 125.7 rad/s
A = 0.008 m²
峰值电动势
E₀ = NBAω = 100·0.05·0.008·125.7 = 5.027 V
答案
E0 = 5.027 V
9.交流阻抗和相量
答案: I = 0.1016 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.05 = 18.85 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (−101.7)²) = 118.1 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 12/118.1 = 0.1016 A
答案
I = 0.1016 A
10.交流阻抗和相量
答案: I = 0.07948 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.1 = 628.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·22·10⁻⁶) = 7.234 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (621.1)²) = 629.1 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 50/629.1 = 0.07948 A
答案
I = 0.07948 A
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