物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

+10 µC 和 +3 µC 的两个电荷相距 10 cm。在两者之间的连线上，距 +10 µC 电荷多远 x 处电场为零？

q₁ = +10 µCq₂ = +3 µCd = 10 cm

x = cm

2.库仑定律与电场困难

+2 µC 和 +2 µC 的两个电荷相距 20 cm。P 点位于两者连线的中垂线上，距中点 8 cm。求 P 点电场强度 E 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +2 µCq₂ = +2 µCd = 20 cmh = 8 cm

E = N/C

3.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

4.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

V_s = 12 VR = 47 ΩL = 47 mH

W(∞) = mJ

6.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 15 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 9 V 时它必须触发，恰好在开始后 250 ms。已知 R = 4.7 kΩ，求所需的电容 C。

V_s = 15 VV_th = 9 VT = 250 msR = 4.7 kΩ

C = µF

7.磁场与电磁感应中等

一个 500 匝线圈的面积为 200 cm²。垂直于线圈的均匀磁场在 200 ms 内从 0.2 T 均匀增大到 0.7 T。求平均感应电动势 ε。

N = 500A = 200 cm²B: 0.2 T → 0.7 TΔt = 200 ms

ε = V

8.磁场与电磁感应困难

一个长空心螺线管有 1000 匝，长度为 40 cm，直径为 2 cm。求它的自感 L。

N = 1000l = 40 cm⌀ = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.交流阻抗和相量中等

一个 L = 10 mH 的 RLC 串联电路必须在 200 Hz 发生谐振。求所需的电容 C。

f₀ = 200 HzL = 10 mH

C = µF

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、100 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 100 mHC = 47 µF

I = A

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: x = 6.461 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

电场相等

10/x² = 3/(10 − x)²

(10 − x)/x = √(3/10) = 0.5477

位置

x = 10/(1 + 0.5477) = 6.461 cm

答案

x = 6.461 cm

零点总是更靠近较小的电荷。

2.库仑定律与电场

答案: E = 1.37 × 10⁶ N/C

一个电荷的距离和电场

r = √(10² + 8²) = 12.81 cm

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0.1281² = 1.096 × 10⁶ N/C

分量

沿两电荷连线方向的分量抵消。

E = 2·E₁·(h/r) = 2·1.096 × 10⁶·0.6247 = 1.37 × 10⁶ N/C

答案

E = 1.37 × 10⁶ N/C

电场沿中垂线方向，背离两个电荷。

3.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.099 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 15 + 20 = 35 Ω

R₂ ∥ 35 = 5·35/(5+35) = 4.375 Ω

R_eq = R₁ + 4.375 = 12 + 4.375 = 16.38 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/16.38 = 1.099 A

答案

I_R1 = 1.099 A

4.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.6551 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 8 + 15 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 10.7 Ω

R₃ + 10.7 = 20.7 Ω

R₂ ∥ 20.7 = 7.596 Ω

R_eq = R₁ + 7.596 = 4 + 7.596 = 11.6 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/11.6 = 1.035 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1.035·4 = 7.861 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7.861/12 = 0.6551 A

答案

I_R2 = 0.6551 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 1.532 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 12/47 = 0.2553 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·47·0.2553² = 1.532 mJ

答案

W(∞) = 1.532 mJ

6.RC 和 RL 暂态

答案: C = 58.05 µF

所需的时间常数

9 = 15·(1 − e^−250/τ) → τ = 250/ln(15/(15 − 9))

τ = 250/0.9163 = 272.8 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 272.8/4.7 = 58.05 µF

答案

C = 58.05 µF

7.磁场与电磁感应

答案: ε = 25 V

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

每匝的磁通量变化

ΔΦ = (0.7 − 0.2)·0.02 = 0.01 Wb

平均电动势

ε = NΔΦ/Δt = 500·0.01/0.2 = 25 V

答案

ε = 25 V

8.磁场与电磁感应

答案: L = 987 µH

横截面

A = π·(0.01)² = 0.0003142 m²

自感

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·1000²·0.0003142/0.4 = 0.000987 H = 987 µH

答案

L = 987 µH

9.交流阻抗和相量

答案: C = 63.33 µF

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(1257²·0.01) = 63.33 µF

答案

C = 63.33 µF

10.交流阻抗和相量

答案: I = 3.916 A

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.1 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·47·10⁻⁶) = 33.86 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (28.97)²) = 30.65 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 120/30.65 = 3.916 A

答案

I = 3.916 A

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