库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +6 µC 的电荷与一个 +10 µC 的电荷相距 50 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 37.5 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +6 µCq2 = +10 µCr1 = 37.5 cmr2 = 12.5 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
两个质量均为 8 g 的相同小球用长 100 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 20° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 8 gL = 100 cmθ = 20°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.串并联电阻中等
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 20 ΩR3 = 15 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 36 VR1 = 15 ΩR2 = 8 ΩR3 = 30 ΩR4 = 2 ΩR5 = 4 ΩR6 = 12 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求 t = 750 ms 时的电容电压 vC。
Vs = 10 VR1 = 6.8 kΩR2 = 10 kΩC = 220 µFt = 750 ms
vC = V
6.RC 和 RL 暂态困难
一个定时器在 t = 0 时开始用 12 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 9 V 时它必须触发，恰好在开始后 25 ms。 已知 C = 4.7 µF，求所需的电阻 R。
Vs = 12 VVth = 9 VT = 25 msC = 4.7 µF
R = kΩ
7.磁场与电磁感应中等
一个圆形回路位于磁场方向为垂直穿出纸面的均匀磁场中。磁场强度正在减小。点选图中所见的回路感应电流方向。
B: 垂直穿出纸面dB/dt < 0
- 1顺时针
- 2逆时针
8.磁场与电磁感应困难
一个氘核从静止开始，经电势差 5000 V 加速后，垂直进入 0.1 T 的均匀磁场。求其在磁场中轨迹的半径 r。
m = 3.344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 5000 VB = 0.1 T
r = cm
9.交流阻抗和相量中等
一个电阻和一个电感并联接在 120 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。
V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 100 mH
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
一个 RLC 串联电路的 R = 100 Ω，L = 20 mH，C = 0.22 µF。 求其带宽 B（两个半功率频率之间的频带宽度），以 Hz 表示。
R = 100 ΩL = 20 mHC = 0.22 µF
B = Hz
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 5.37 × 10⁶ N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·6 × 10⁻⁶/0.375² = 383573 N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0.125² = 5.754 × 10⁶ N/C
方向与合成
两个电荷都是正的：在 P 点，它们的电场各自背离对应的电荷，因此方向相反。
E = |383573 − 5.754 × 10⁶| = 5.37 × 10⁶ N/C
答案
E = 5.37 × 10⁶ N/C
2.库仑定律与电场
答案: q = 1219 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
由平衡求电场力
拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。
F = m·g·tan θ = 0.008·9.81·tan 20° = 0.02856 N
间距
r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 20° = 0.684 m
电荷量
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.684·√(0.02856/8.99 × 10⁹) = 1.219 × 10⁻⁶ C = 1219 nC
答案
q = 1219 nC
3.串并联电阻
答案: IR1 = 0.698 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 15 + 12 = 27 Ω
R2 ∥ 27 = 20·27/(20+27) = 11.49 Ω
Req = R1 + 11.49 = 10 + 11.49 = 21.49 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 15/21.49 = 0.698 A
答案
IR1 = 0.698 A
4.串并联电阻
答案: IR2 = 1.344 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 4 + 12 = 16 Ω
R4 ∥ 16 = 1.778 Ω
R3 + 1.778 = 31.78 Ω
R2 ∥ 31.78 = 6.391 Ω
Req = R1 + 6.391 = 15 + 6.391 = 21.39 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 36/21.39 = 1.683 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 36 − 1.683·15 = 10.76 V
IR2 = VA/R2 = 10.76/8 = 1.344 A
答案
IR2 = 1.344 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: vC = 3.388 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
电容看到的戴维南等效电路
把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。
Rth = R1 ∥ R2 = 6.8·10/(6.8 + 10) = 4.048 kΩ
vC(∞) = 10·10/(6.8 + 10) = 5.952 V
时间常数
τ = Rth·C = 4.048·220 = 890.5 ms
充电曲线
vC(t) = 5.952·(1 − e−750/890.5) = 3.388 V
答案
vC = 3.388 V
6.RC 和 RL 暂态
答案: R = 3.837 kΩ
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
所需的时间常数
9 = 12·(1 − e−25/τ) → τ = 25/ln(12/(12 − 9))
τ = 25/1.386 = 18.03 ms
电阻
kΩ 乘以 µF 得到毫秒。
R = τ/C = 18.03/4.7 = 3.837 kΩ
答案
R = 3.837 kΩ
7.磁场与电磁感应
答案: 逆时针
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
磁通量的变化
进入纸面的磁通量增大，或穿出纸面的磁通量减小。
感应电流的磁场
感应电流阻碍这一变化。
回路内部的感应磁场：穿出纸面。
电流的方向
右手螺旋定则：逆时针电流在回路内部产生穿出纸面的磁场。
逆时针
答案
逆时针
8.磁场与电磁感应
答案: r = 14.45 cm
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
加速后的速率
v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·5000/(3.344 × 10⁻²⁷)) = 692147 m/s
磁场中的半径
r = mv/(|q|B) = 0.1445 m = 14.45 cm
答案
r = 14.45 cm
合起来：r = √(2mV/|q|)/B，所以电荷相同的较重离子沿较大的圆运动；这就是分离同位素的方法。
9.交流阻抗和相量
答案: φ = 38.51 °
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XL = ωL = 2π·50·0.1 = 31.42 Ω
支路电流
两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。
IR = V/R = 120/25 = 4.8 A
IX = V/XL = 120/31.42 = 3.82 A
总电流
电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。
I = √(IR² + IX²) = √(4.8² + 3.82²) = 6.134 A
相角
电感电流滞后于 V，所以总电流滞后，角度为正。
φ = arctan(IX/IR) = arctan(3.82/4.8) = 38.51°
答案
φ = 38.51°
10.交流阻抗和相量
答案: B = 795.8 Hz
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
谐振频率
f0 = 1/(2π·√(0.02·0.22·10⁻⁶)) = 2399 Hz
品质因数
Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0.02/(0.22·10⁻⁶)) = 3.015
带宽
B = f0/Q = 2399/3.015 = 795.8 Hz
答案
B = 795.8 Hz
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