物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律
F = k·|q1q2|/r²
点电荷的电场
E = k·|q|/r²
常量
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力
F = q·E

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线
B = μ0I/(2πr)
平面线圈的中心
B = μ0NI/(2R)
长螺线管
B = μ0nI, n = N/L
常量
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力
F = BIL·sin θ
电荷所受的力
F = |q|vB·sin θ
圆周运动
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁通量
Φ = BA·cos θ
法拉第定律
ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆
ε = BLv
发电机
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
电感
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
互感
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度选择器与质谱仪
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

  1. 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
  2. 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
  3. 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
  4. 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等
++2 µC++10 µCE = 060 cm

+2 µC 和 +10 µC 的两个电荷相距 60 cm。在两者之间的连线上，距 +2 µC 电荷多远 x 处电场为零？

q1 = +2 µCq2 = +10 µCd = 60 cm
x = cm
2.库仑定律与电场困难
10 cm6 cm+q1​ = +10 µC+q3​ = +3 µC+q2​ = +10 µC

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 3 µC 位于直角顶点，q₁ = 10 µC 沿一条直角边距它 10 cm，q₂ = 10 µC 沿另一条直角边距它 6 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q1 = 10 µCq2 = 10 µCq3 = 3 µCr13 = 10 cmr23 = 6 cm
F = N
3.串并联电阻中等
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAR4​3 ΩB

求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。

V1 = 12 VR1 = 15 ΩR2 = 15 ΩR3 = 6 ΩR4 = 3 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
R1​ = 20 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩIR2​AR4​15 ΩBR6​8 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 15 VR1 = 20 ΩR2 = 8 ΩR3 = 2 ΩR4 = 15 ΩR5 = 20 ΩR6 = 8 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​15 Vt = 0R = 47 ΩL220 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

Vs = 15 VR = 47 ΩL = 220 mH
W(∞) = mJ
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​10 Vt = 0R = 1 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 8 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 8 V，极性如图所示。 求 t = 300 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 10 VR = 1 kΩC = 220 µFvC(0) = 8 Vt = 300 ms
vC = V
7.磁场与电磁感应中等
nBA = 25 cm², N = 200B = 0.3 T

一个 200 匝线圈的面积为 25 cm²。线圈在垂直于其平面的 0.3 T 均匀磁场中，在 40 ms 内翻转（转过 180°）。 求平均感应电动势 ε。

N = 200A = 25 cm²B = 0.3 TΔt = 40 ms
ε = V
8.磁场与电磁感应困难
Bn = 3600 rpm8 cm × 15 cmN = 150B = 0.3 T

一个 150 匝、8 cm × 15 cm 的线圈在 0.3 T 的均匀磁场中，以 3600 rpm 绕垂直于磁场的轴转动。求电动势的有效值 Erms。

N = 150A = 8 cm × 15 cmB = 0.3 Tn = 3600 rpm
Erms = V
9.交流阻抗和相量中等
230 V500 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 2.2 µF

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 2.2 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
230 V500 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 10 µF+−VC​

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 10 µF
VC = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: x = 18.54 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

电场相等

2/x² = 10/(60 − x)²
(60 − x)/x = √(10/2) = 2.236

位置

x = 60/(1 + 2.236) = 18.54 cm

答案

x = 18.54 cm

零点总是更靠近较小的电荷。

2.库仑定律与电场

答案: F = 79.62 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F1 = k·10·3 × 10⁻¹²/0.1² = 26.97 N
F2 = k·10·3 × 10⁻¹²/0.06² = 74.92 N

矢量和

F = √(26.97² + 74.92²) = 79.62 N

答案

F = 79.62 N
3.串并联电阻

答案: IR1 = 0.5818 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 15 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAR4​3 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 6 + 3 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 15·9/(15+9) = 5.625 Ω
Req = R1 + 5.625 = 15 + 5.625 = 20.63 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 12/20.63 = 0.5818 A

答案

IR1 = 0.5818 A
4.串并联电阻

答案: IR2 = 0.3606 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 20 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAR4​15 ΩBR6​8 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 20 + 8 = 28 Ω
R4 ∥ 28 = 9.767 Ω
R3 + 9.767 = 11.77 Ω
R2 ∥ 11.77 = 4.762 Ω
Req = R1 + 4.762 = 20 + 4.762 = 24.76 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 15/24.76 = 0.6058 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 0.6058·20 = 2.885 V
IR2 = VA/R2 = 2.885/8 = 0.3606 A

答案

IR2 = 0.3606 A
5.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 11.2 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 220 mH / 47 Ω = 4.681 ms
i(∞) = Vs/R = 15/47 = 0.3191 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·220·0.3191² = 11.2 mJ

答案

W(∞) = 11.2 mJ
6.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 9.489 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 1 kΩ · 220 µF = 220 ms
vC(t) = 10 + (8 − 10)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(300) = 10 + (−2)·e−300/220 = 9.489 V

答案

vC = 9.489 V
7.磁场与电磁感应

答案: ε = 7.5 V

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

每匝的磁通量变化

ΔΦ = 2·0.3·0.0025 = 0.0015 Wb

平均电动势

ε = NΔΦ/Δt = 200·0.0015/0.04 = 7.5 V

答案

ε = 7.5 V
8.磁场与电磁感应

答案: Erms = 143.9 V

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

角速度与面积

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s
A = 0.012 m²

峰值电动势

E₀ = NBAω = 150·0.3·0.012·377 = 203.6 V

有效值

Erms = 203.6/√2 = 143.9 V

答案

Erms = 143.9 V
9.交流阻抗和相量

答案: φ = 72.97 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.15 = 471.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·2.2·10⁻⁶) = 144.7 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (326.6)²) = 341.5 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(326.6/100) = 72.97°

答案

φ = 72.97°
10.交流阻抗和相量

答案: VC = 9.661 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.25 = 785.4 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31.83 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (753.6)²) = 757.8 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 230/757.8 = 0.3035 A

电容电压

VC = I·XC = 0.3035·31.83 = 9.661 V

答案

VC = 9.661 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism