库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +1 µC 的电荷与一个 −1 µC 的电荷相距 20 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 8 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +1 µCq2 = −1 µCr1 = 8 cmr2 = 12 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 8 µC 位于直角顶点，q₁ = 8 µC 沿一条直角边距它 3 cm，q₂ = 1 µC 沿另一条直角边距它 3 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。
q1 = 8 µCq2 = 1 µCq3 = 8 µCr13 = 3 cmr23 = 3 cm
F = N
3.串并联电阻中等
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 18 VR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩR3 = 4 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 24 VR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 5 ΩR4 = 20 ΩR5 = 15 ΩR6 = 2 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 80%？求 t。
Vs = 20 VR = 100 ΩL = 100 mH
t = ms
6.RC 和 RL 暂态困难
开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 5 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 13 V？求 t。
Vs = 15 VR = 1 kΩC = 10 µFvC(0) = 5 V
t = ms
7.磁场与电磁感应中等
一个 25 匝线圈的面积为 20 cm²。垂直于线圈的均匀磁场在 100 ms 内从 0.05 T 均匀增大到 0.15 T。 求平均感应电动势 ε。
N = 25A = 20 cm²B: 0.05 T → 0.15 TΔt = 100 ms
ε = mV
8.磁场与电磁感应困难
一个 50 匝、20 cm × 25 cm 的线圈在 0.5 T 的均匀磁场中，以 3000 rpm 绕垂直于磁场的轴转动。求峰值电动势 E0。
N = 50A = 20 cm × 25 cmB = 0.5 Tn = 3000 rpm
E0 = V
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 10 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 20 ΩL = 150 mHC = 22 µF
I = A
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 2.029 × 10⁶ N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·1 × 10⁻⁶/0.08² = 1.405 × 10⁶ N/C
E2 = k·1 × 10⁻⁶/0.12² = 624306 N/C
方向与合成
第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。
E = |1.405 × 10⁶ + 624306| = 2.029 × 10⁶ N/C
答案
E = 2.029 × 10⁶ N/C
2.库仑定律与电场
答案: F = 644.3 N
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
q₃ 所受的各个力
F1 = k·8·8 × 10⁻¹²/0.03² = 639.3 N
F2 = k·1·8 × 10⁻¹²/0.03² = 79.91 N
矢量和
F = √(639.3² + 79.91²) = 644.3 N
答案
F = 644.3 N
3.串并联电阻
答案: IR2 = 0.2483 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 4 + 4 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 20·8/(20+8) = 5.714 Ω
Req = R1 + 5.714 = 15 + 5.714 = 20.71 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 18/20.71 = 0.869 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 0.869·15 = 4.966 V
IR2 = VA/R2 = 4.966/20 = 0.2483 A
答案
IR2 = 0.2483 A
4.串并联电阻
答案: IR2 = 1.381 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 15 + 2 = 17 Ω
R4 ∥ 17 = 9.189 Ω
R3 + 9.189 = 14.19 Ω
R2 ∥ 14.19 = 4.217 Ω
Req = R1 + 4.217 = 8 + 4.217 = 12.22 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 24/12.22 = 1.964 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 1.964·8 = 8.284 V
IR2 = VA/R2 = 8.284/6 = 1.381 A
答案
IR2 = 1.381 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: t = 1.609 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 100 mH / 100 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 20/100 = 0.2 A
求解时间
0.8 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.8)
t = −1·ln(0.2) = 1.609 ms
答案
t = 1.609 ms
6.RC 和 RL 暂态
答案: t = 16.09 ms
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。
vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 1 kΩ · 10 µF = 10 ms
vC(t) = 15 + (5 − 15)·e−t/τ
求解时间
13 = 15 + (−10)·e−t/τ → e−t/τ = (13 − 15)/(5 − 15) = 0.2
t = τ·ln((5 − 15)/(13 − 15)) = 10·ln(5) = 16.09 ms
答案
t = 16.09 ms
7.磁场与电磁感应
答案: ε = 50 mV
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
每匝的磁通量变化
ΔΦ = (0.15 − 0.05)·0.002 = 0.0002 Wb
平均电动势
ε = NΔΦ/Δt = 25·0.0002/0.1 = 0.05 V
答案
ε = 50 mV
8.磁场与电磁感应
答案: E0 = 392.7 V
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
角速度与面积
ω = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
A = 0.05 m²
峰值电动势
E₀ = NBAω = 50·0.5·0.05·314.2 = 392.7 V
答案
E0 = 392.7 V
9.交流阻抗和相量
答案: I = 0.01627 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.1 = 628.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·10·10⁻⁶) = 15.92 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (612.4)²) = 614.4 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 10/614.4 = 0.01627 A
答案
I = 0.01627 A
10.交流阻抗和相量
答案: I = 0.1004 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.15 = 47.12 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−97.56)²) = 99.59 Ω
电流
串联电路中每个元件流过相同电流。
I = V/|Z| = 10/99.59 = 0.1004 A
答案
I = 0.1004 A
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