物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

+6 µC 和 +3 µC 的两个电荷相距 20 cm。在两者之间的连线上，距 +6 µC 电荷多远 x 处电场为零？

q₁ = +6 µCq₂ = +3 µCd = 20 cm

x = cm

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 8 µC 位于直角顶点，q₁ = 4 µC 沿一条直角边距它 10 cm，q₂ = 2 µC 沿另一条直角边距它 3 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 4 µCq₂ = 2 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

4.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 25 Ω

R_eq = Ω

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

V_s = 10 VR = 15 ΩL = 100 mH

W(∞) = mJ

6.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 15 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 12 VR₁ = 1 kΩR₂ = 1 kΩC = 10 µFt = 15 ms

v_C = V

7.磁场与电磁感应中等

质子向页面上方运动，穿过均匀磁场（磁场方向垂直穿出纸面）。点选它所受磁力的方向。

v: 向页面上方B: 垂直穿出纸面

1向页面上方
2向右
3向页面下方
4向左

8.磁场与电磁感应困难

一个 200 匝、12 cm × 10 cm 的线圈在 0.5 T 的均匀磁场中绕垂直于磁场的轴转动。它必须以多大的转速 n（单位：转/分）转动，才能产生 26.66 V 的有效值电动势？

N = 200A = 12 cm × 10 cmB = 0.5 TE_rms = 26.66 V

n = rpm

9.交流阻抗和相量中等

一个 L = 200 mH 的 RLC 串联电路必须在 2000 Hz 发生谐振。求所需的电容 C。

f₀ = 2000 HzL = 200 mH

C = µF

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、500 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 4.7 µF

I = A

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: x = 11.72 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

电场相等

6/x² = 3/(20 − x)²

(20 − x)/x = √(3/6) = 0.7071

位置

x = 20/(1 + 0.7071) = 11.72 cm

答案

x = 11.72 cm

零点总是更靠近较小的电荷。

2.库仑定律与电场

答案: F = 162.4 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·4·8 × 10⁻¹²/0.1² = 28.77 N

F₂ = k·2·8 × 10⁻¹²/0.03² = 159.8 N

矢量和

F = √(28.77² + 159.8²) = 162.4 N

答案

F = 162.4 N

3.串并联电阻

答案: R_eq = 7.636 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 4 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 2·9/(2+9) = 1.636 Ω

R_eq = R₁ + 1.636 = 6 + 1.636 = 7.636 Ω

答案

R_eq = 7.636 Ω

4.串并联电阻

答案: R_eq = 30 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 5 + 25 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 10 Ω

R₃ + 10 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 10 Ω

R_eq = R₁ + 10 = 20 + 10 = 30 Ω

答案

R_eq = 30 Ω

5.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 22.22 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 15 Ω = 6.667 ms

i(∞) = V_s/R = 10/15 = 0.6667 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·100·0.6667² = 22.22 mJ

答案

W(∞) = 22.22 mJ

6.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 1.339 V

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 12·1/(1 + 1) = 6 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 1·10 = 10 ms

放电

v_C(t) = 6·e^−15/10 = 1.339 V

答案

v_C = 1.339 V

7.磁场与电磁感应

答案: 向右

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

右手定则

四指沿电流或速度方向，向 B 的方向弯曲；拇指指向正电荷所受的力。

v: 向页面上方, B: 垂直穿出纸面

力的方向

向右

答案

F: 向右

8.磁场与电磁感应

答案: n = 300 rpm

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

峰值电动势

E₀ = √2·E_rms = 37.7 V

角速度

ω = E₀/(NBA) = 37.7/(200·0.5·0.012) = 31.42 rad/s

每分钟转数

n = 60·31.42/(2π) = 300 rpm

答案

n = 300 rpm

9.交流阻抗和相量

答案: C = 0.03166 µF

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(12566²·0.2) = 0.03166 µF

答案

C = 0.03166 µF

10.交流阻抗和相量

答案: I = 0.3987 A

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.02 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−4.894)²) = 60.2 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 24/60.2 = 0.3987 A

答案

I = 0.3987 A

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