库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
+6 µC 和 +5 µC 的两个电荷相距 50 cm。在两者之间的连线上，距 +6 µC 电荷多远 x 处电场为零？
q1 = +6 µCq2 = +5 µCd = 50 cm
x = cm
2.库仑定律与电场困难
三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 4 µC 位于直角顶点，q₁ = 8 µC 沿一条直角边距它 10 cm，q₂ = 2 µC 沿另一条直角边距它 6 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。
q1 = 8 µCq2 = 2 µCq3 = 4 µCr13 = 10 cmr23 = 6 cm
F = N
3.串并联电阻中等
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 12 VR1 = 20 ΩR2 = 5 ΩR3 = 8 ΩR4 = 6 Ω
Req = Ω
4.串并联电阻困难
求流过 R2 的电流 IR2。
V1 = 6 VR1 = 20 ΩR2 = 8 ΩR3 = 20 ΩR4 = 5 ΩR5 = 8 ΩR6 = 10 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时的电流 i。
Vs = 24 VR = 10 ΩL = 22 mHt = 5 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
跨接在 R2 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 求 t = 1 ms 时的电感电流 i。
Vs = 10 VR1 = 33 ΩR2 = 20 ΩL = 68 mHt = 1 ms
i = A
7.磁场与电磁感应中等
质子向页面上方运动，穿过均匀磁场（磁场方向垂直穿出纸面）。点选它所受磁力的方向。
v: 向页面上方B: 垂直穿出纸面
- 1向页面上方
- 2向右
- 3向页面下方
- 4向左
8.磁场与电磁感应困难
一个长空心螺线管有 100 匝，长度为 10 cm，直径为 1 cm。当它通有 5 A 的电流时，求其磁场中储存的能量 W。
N = 100l = 10 cm⌀ = 1 cmI = 5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = µJ
9.交流阻抗和相量中等
一个电阻和一个电容并联接在 120 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩC = 22 µF
I = A
10.交流阻抗和相量困难
一个 RLC 串联电路由 5 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。
V = 5 V (rms)R = 10 ΩL = 20 mHC = 1 µF
VL = V
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: x = 26.14 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
电场相等
6/x² = 5/(50 − x)²
(50 − x)/x = √(5/6) = 0.9129
位置
x = 50/(1 + 0.9129) = 26.14 cm
答案
x = 26.14 cm
零点总是更靠近较小的电荷。
2.库仑定律与电场
答案: F = 35.02 N
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
q₃ 所受的各个力
F1 = k·8·4 × 10⁻¹²/0.1² = 28.77 N
F2 = k·2·4 × 10⁻¹²/0.06² = 19.98 N
矢量和
F = √(28.77² + 19.98²) = 35.02 N
答案
F = 35.02 N
3.串并联电阻
答案: Req = 23.68 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 8 + 6 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 5·14/(5+14) = 3.684 Ω
Req = R1 + 3.684 = 20 + 3.684 = 23.68 Ω
答案
Req = 23.68 Ω
4.串并联电阻
答案: IR2 = 0.173 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 8 + 10 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 3.913 Ω
R3 + 3.913 = 23.91 Ω
R2 ∥ 23.91 = 5.995 Ω
Req = R1 + 5.995 = 20 + 5.995 = 25.99 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 6/25.99 = 0.2308 A
流过 R₂ 的电流
减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。
VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0.2308·20 = 1.384 V
IR2 = VA/R2 = 1.384/8 = 0.173 A
答案
IR2 = 0.173 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: i = 2.153 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 22 mH / 10 Ω = 2.2 ms
i(∞) = Vs/R = 24/10 = 2.4 A
给定时刻的电流
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 2.4·(1 − e−5/2.2) = 2.153 A
答案
i = 2.153 A
6.RC 和 RL 暂态
答案: i = 0.2411 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
初始值、终值、时间常数
在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。
i(0) = 10/33 = 0.303 A
i(∞) = 10/(33 + 20) = 0.1887 A
τ = L/R = 68/53 = 1.283 ms
i(t) = 0.1887 + (0.303 − 0.1887)·e−t/τ
给定时刻的电流
i(1) = 0.1887 + (0.1144)·e−1/1.283 = 0.2411 A
答案
i = 0.2411 A
7.磁场与电磁感应
答案: 向右
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
右手定则
四指沿电流或速度方向，向 B 的方向弯曲；拇指指向正电荷所受的力。
v: 向页面上方, B: 垂直穿出纸面
力的方向
向右
答案
F: 向右
8.磁场与电磁感应
答案: W = 123.4 µJ
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
自感
L = μ₀N²A/l = 9.87 µH
储存的能量
W = ½LI² = ½·9.87 × 10⁻⁶·5² = 0.0001234 J = 123.4 µJ
答案
W = 123.4 µJ
9.交流阻抗和相量
答案: I = 9.208 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XC = 1/(ωC) = 1/(2π·500·22·10⁻⁶) = 14.47 Ω
支路电流
两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。
IR = V/R = 120/30 = 4 A
IX = V/XC = 120/14.47 = 8.294 A
总电流
电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。
I = √(IR² + IX²) = √(4² + 8.294²) = 9.208 A
答案
I = 9.208 A
10.交流阻抗和相量
答案: VL = 70.71 V
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
谐振
谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·1·10⁻⁶) = 7071 rad/s
I = V/R = 5/10 = 0.5 A
电感两端的电压
XL = ω₀L = 7071·0.02 = 141.4 Ω
VL = I·XL = 0.5·141.4 = 70.71 V
答案
VL = 70.71 V
这是电源电压的 Q = 14.14 倍。
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