物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

两个相同的金属小球分别带有 +1 µC 和 −4 µC 的电荷。让它们接触后再放回相距 40 cm 处。求此时它们之间作用力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = −4 µCr = 40 cm

F = N

2.库仑定律与电场困难

两个质量均为 2 g 的相同小球用长 30 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 8° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 30 cmθ = 8°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

4.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 4 Ω

I_R1 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时的电流 i。

V_s = 5 VR = 20 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

6.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 9 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 7.2 V 时它必须触发，恰好在开始后 100 ms。已知 R = 2.2 kΩ，求所需的电容 C。

V_s = 9 VV_th = 7.2 VT = 100 msR = 2.2 kΩ

C = µF

7.磁场与电磁感应中等

一个 250 匝线圈的面积为 80 cm²。线圈在垂直于其平面的 0.3 T 均匀磁场中，在 100 ms 内翻转（转过 180°）。求平均感应电动势 ε。

N = 250A = 80 cm²B = 0.3 TΔt = 100 ms

ε = V

8.磁场与电磁感应困难

一个 150 匝、5 cm × 10 cm 的线圈在 0.5 T 的均匀磁场中，以 3600 rpm 绕垂直于磁场的轴转动。求峰值电动势 E₀。

N = 150A = 5 cm × 10 cmB = 0.5 Tn = 3600 rpm

E₀ = V

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、100 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF

I = A

10.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路由 5 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 V_L。

V = 5 V (rms)R = 15 ΩL = 10 mHC = 10 µF

V_L = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 0.1264 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

接触后的电荷

q′ = (1 + −4)/2 = −1.5 µC

新的作用力

F = 8.99 × 10⁹·(1.5 × 10⁻⁶)²/0.4² = 0.1264 N

答案

F = 0.1264 N

现在两个小球带同种电荷，所以相互排斥。

2.库仑定律与电场

答案: q = 46.25 nC

由平衡求电场力

拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。

F = m·g·tan θ = 0.002·9.81·tan 8° = 0.002757 N

间距

r = 2·L·sin θ = 2·0.3·sin 8° = 0.0835 m

电荷量

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.0835·√(0.002757/8.99 × 10⁹) = 4.625 × 10⁻⁸ C = 46.25 nC

答案

q = 46.25 nC

3.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.9455 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 6 + 20 = 26 Ω

R₂ ∥ 26 = 3·26/(3+26) = 2.69 Ω

R_eq = R₁ + 2.69 = 3 + 2.69 = 5.69 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/5.69 = 1.055 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 1.055·3 = 2.836 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2.836/3 = 0.9455 A

答案

I_R2 = 0.9455 A

4.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.8294 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 2 + 4 = 6 Ω

R₄ ∥ 6 = 3.429 Ω

R₃ + 3.429 = 11.43 Ω

R₂ ∥ 11.43 = 1.702 Ω

R_eq = R₁ + 1.702 = 20 + 1.702 = 21.7 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/21.7 = 0.8294 A

答案

I_R1 = 0.8294 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.1493 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 20 Ω = 1.1 ms

i(∞) = V_s/R = 5/20 = 0.25 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.25·(1 − e^−1/1.1) = 0.1493 A

答案

i = 0.1493 A

6.RC 和 RL 暂态

答案: C = 28.24 µF

所需的时间常数

7.2 = 9·(1 − e^−100/τ) → τ = 100/ln(9/(9 − 7.2))

τ = 100/1.609 = 62.13 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 62.13/2.2 = 28.24 µF

答案

C = 28.24 µF

7.磁场与电磁感应

答案: ε = 12 V

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

每匝的磁通量变化

ΔΦ = 2·0.3·0.008 = 0.0048 Wb

平均电动势

ε = NΔΦ/Δt = 250·0.0048/0.1 = 12 V

答案

ε = 12 V

8.磁场与电磁感应

答案: E₀ = 141.4 V

角速度与面积

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s

A = 0.005 m²

峰值电动势

E₀ = NBAω = 150·0.5·0.005·377 = 141.4 V

答案

E₀ = 141.4 V

9.交流阻抗和相量

答案: I = 0.0315 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.05 = 31.42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·4.7·10⁻⁶) = 338.6 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−307.2)²) = 317.5 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 10/317.5 = 0.0315 A

答案

I = 0.0315 A

10.交流阻抗和相量

答案: V_L = 10.54 V

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.01·10·10⁻⁶) = 3162 rad/s

I = V/R = 5/15 = 0.3333 A

电感两端的电压

X_L = ω₀L = 3162·0.01 = 31.62 Ω

V_L = I·X_L = 0.3333·31.62 = 10.54 V

答案

V_L = 10.54 V

这是电源电压的 Q = 2.108 倍。

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism