库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
三个点电荷位于一条直线上：左边为 +5 µC，右边相距 10 cm 处为 −3 µC，两者之间距左边电荷 6 cm 处为 +6 µC。求中间电荷所受合电场力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = +5 µCqR = −3 µCqM = +6 µCrL = 6 cmrR = 4 cm
F = N
2.库仑定律与电场困难
+4 µC 和 −4 µC 的两个电荷相距 10 cm。P 点位于两者连线的中垂线上，距中点 5 cm。求 P 点电场强度 E 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +4 µCq2 = −4 µCd = 10 cmh = 5 cm
E = N/C
3.串并联电阻中等
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 5 ΩR4 = 3 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
求电源 V1 看到的等效电阻 Req。
V1 = 24 VR1 = 8 ΩR2 = 10 ΩR3 = 25 ΩR4 = 12 ΩR5 = 2 ΩR6 = 12 Ω
Req = Ω
5.RC 和 RL 暂态中等
电感中流过 1 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 1 ms 时的电流 i。
i(0) = 1 AR = 15 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。 求 t = 1000 ms 时的电容电压 vC。
Vs = 15 VR1 = 6.8 kΩR2 = 10 kΩC = 47 µFt = 1000 ms
vC = V
7.磁场与电磁感应中等
两根相距 12 cm 的长平行导线通有同方向的 20 A 和 30 A 电流。求它们之间每米长度所受的力 F/L。
I1 = 20 AI2 = 30 Ad = 12 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
F/L = µN/m
8.磁场与电磁感应困难
一个 250 匝、5 cm × 15 cm 的线圈在 0.2 T 的均匀磁场中，以 3000 rpm 绕垂直于磁场的轴转动。求电动势的有效值 Erms。
N = 250A = 5 cm × 15 cmB = 0.2 Tn = 3000 rpm
Erms = V
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。
V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 47 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
一个 RLC 串联电路由 12 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。
V = 12 V (rms)R = 15 ΩL = 10 mHC = 1 µF
VL = V
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: F = 176.1 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
每个电荷产生的力
向右为正。
FL = +k·5·6 × 10⁻¹²/0.06² = 74.92 N
FR = +k·3·6 × 10⁻¹²/0.04² = 101.1 N
合力
F = 74.92 + (101.1) = 176.1 N → |F| = 176.1 N
答案
F = 176.1 N
合力向右。
2.库仑定律与电场
答案: E = 1.017 × 10⁷ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
一个电荷的距离和电场
r = √(5² + 5²) = 7.071 cm
E1 = k·4 × 10⁻⁶/0.07071² = 7.192 × 10⁶ N/C
分量
沿中垂线方向的分量抵消。
E = 2·E1·(a/r) = 2·7.192 × 10⁶·0.7071 = 1.017 × 10⁷ N/C
答案
E = 1.017 × 10⁷ N/C
电场平行于两电荷连线，从正电荷指向负电荷。
3.串并联电阻
答案: IR1 = 1.478 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 5 + 3 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 3·8/(3+8) = 2.182 Ω
Req = R1 + 2.182 = 10 + 2.182 = 12.18 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 18/12.18 = 1.478 A
答案
IR1 = 1.478 A
4.串并联电阻
答案: Req = 15.59 Ω
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 2 + 12 = 14 Ω
R4 ∥ 14 = 6.462 Ω
R3 + 6.462 = 31.46 Ω
R2 ∥ 31.46 = 7.588 Ω
Req = R1 + 7.588 = 8 + 7.588 = 15.59 Ω
答案
Req = 15.59 Ω
5.RC 和 RL 暂态
答案: i = 0.2231 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数
τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0.6667 ms
电流的衰减
i(t) = 1·e−1/0.6667 = 0.2231 A
答案
i = 0.2231 A
6.RC 和 RL 暂态
答案: vC = 1.064 V
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
电容的初始电压
稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。
vC(0) = 15·10/(6.8 + 10) = 8.929 V
开关断开后的时间常数
τ = R2·C = 10·47 = 470 ms
放电
vC(t) = 8.929·e−1000/470 = 1.064 V
答案
vC = 1.064 V
7.磁场与电磁感应
答案: F/L = 1000 µN/m
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
每米长度所受的力
F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·20·30/0.12 = 1000 µN/m
答案
F/L = 1000 µN/m
同方向的电流相互吸引。
8.磁场与电磁感应
答案: Erms = 83.3 V
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
角速度与面积
ω = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
A = 0.0075 m²
峰值电动势
E₀ = NBAω = 250·0.2·0.0075·314.2 = 117.8 V
有效值
Erms = 117.8/√2 = 83.3 V
答案
Erms = 83.3 V
9.交流阻抗和相量
答案: φ = −6.975 °
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.05 = 31.42 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·47·10⁻⁶) = 33.86 Ω
阻抗
串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−2.447)²) = 20.15 Ω
相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−2.447/20) = −6.975°
答案
φ = −6.975°
10.交流阻抗和相量
答案: VL = 80 V
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
谐振
谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.01·1·10⁻⁶) = 10000 rad/s
I = V/R = 12/15 = 0.8 A
电感两端的电压
XL = ω₀L = 10000·0.01 = 100 Ω
VL = I·XL = 0.8·100 = 80 V
答案
VL = 80 V
这是电源电压的 Q = 6.667 倍。
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