物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

+2 µC 和 +1 µC 的两个电荷相距 50 cm。在两者之间的连线上，距 +2 µC 电荷多远 x 处电场为零？

q₁ = +2 µCq₂ = +1 µCd = 50 cm

x = cm

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 6 µC 位于直角顶点，q₁ = 5 µC 沿一条直角边距它 6 cm，q₂ = 2 µC 沿另一条直角边距它 5 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 5 µCq₂ = 2 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 4 Ω

I_R2 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 80%？求 t。

V_s = 15 VR = 10 ΩL = 100 mH

t = ms

6.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 5 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 3.16 V 时它必须触发，恰好在开始后 50 ms。已知 C = 1 µF，求所需的电阻 R。

V_s = 5 VV_th = 3.16 VT = 50 msC = 1 µF

R = kΩ

7.磁场与电磁感应中等

一根导线通有电流向页面下方，穿过均匀磁场（磁场方向垂直穿出纸面）。点选导线所受磁力的方向。

I: 向页面下方B: 垂直穿出纸面

1向页面上方
2向右
3向页面下方
4向左

8.磁场与电磁感应困难

一个长空心螺线管有 2000 匝，长度为 40 cm，直径为 4 cm。求它的自感 L。

N = 2000l = 40 cm⌀ = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、500 Hz 的电源上。求电路的功率因数 cos φ。

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 100 µF

cos φ =

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、50 Hz 的电源上。求电容两端电压的有效值 V_C。

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 47 µF

V_C = V

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: x = 29.29 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

电场相等

2/x² = 1/(50 − x)²

(50 − x)/x = √(1/2) = 0.7071

位置

x = 50/(1 + 0.7071) = 29.29 cm

答案

x = 29.29 cm

零点总是更靠近较小的电荷。

2.库仑定律与电场

答案: F = 86.46 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·5·6 × 10⁻¹²/0.06² = 74.92 N

F₂ = k·2·6 × 10⁻¹²/0.05² = 43.15 N

矢量和

F = √(74.92² + 43.15²) = 86.46 N

答案

F = 86.46 N

3.串并联电阻

答案: R_eq = 9.333 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 10 + 10 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 4·20/(4+20) = 3.333 Ω

R_eq = R₁ + 3.333 = 6 + 3.333 = 9.333 Ω

答案

R_eq = 9.333 Ω

4.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.2763 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 2 + 4 = 6 Ω

R₄ ∥ 6 = 3 Ω

R₃ + 3 = 28 Ω

R₂ ∥ 28 = 11.67 Ω

R_eq = R₁ + 11.67 = 20 + 11.67 = 31.67 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/31.67 = 0.4737 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0.4737·20 = 5.526 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5.526/20 = 0.2763 A

答案

I_R2 = 0.2763 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 16.09 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 10 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 15/10 = 1.5 A

求解时间

0.8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.8)

t = −10·ln(0.2) = 16.09 ms

答案

t = 16.09 ms

6.RC 和 RL 暂态

答案: R = 50.02 kΩ

所需的时间常数

3.16 = 5·(1 − e^−50/τ) → τ = 50/ln(5/(5 − 3.16))

τ = 50/0.9997 = 50.02 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 50.02/1 = 50.02 kΩ

答案

R = 50.02 kΩ

7.磁场与电磁感应

答案: 向左

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

右手定则

四指沿电流或速度方向，向 B 的方向弯曲；拇指指向正电荷所受的力。

I: 向页面下方, B: 垂直穿出纸面

力的方向

向左

答案

F: 向左

8.磁场与电磁感应

答案: L = 15.79 mH

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

横截面

A = π·(0.02)² = 0.001257 m²

自感

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·2000²·0.001257/0.4 = 0.01579 H = 15.79 mH

答案

L = 15.79 mH

9.交流阻抗和相量

答案: cos φ = 0.1271

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

X_L = 471.2 Ω, X_C = 3.183 Ω

阻抗

|Z| = √(60² + (468.1)²) = 471.9 Ω

功率因数

cos φ = R/|Z| = 60/471.9 = 0.1271

电路是感性的，所以功率因数滞后。

答案

cos φ = 0.1271

10.交流阻抗和相量

答案: V_C = 288.3 V

电抗

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.1 = 31.42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·47·10⁻⁶) = 67.73 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−36.31)²) = 54.02 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 230/54.02 = 4.258 A

电容电压

V_C = I·X_C = 4.258·67.73 = 288.3 V

答案

V_C = 288.3 V

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