库仑定律与电场
- 库仑定律
- F = k·|q1q2|/r²
- 点电荷的电场
- E = k·|q|/r²
- 常量
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 电荷所受的力
- F = q·E
物理（二）：电磁学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
串并联电阻
- 电阻串联
- Req = R1 + R2 + …
- 电阻并联
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 两个电阻并联
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 欧姆定律
- V = I·R
- 功率
- P = V·I = I²R = V²/R
方法
- 从离端子最远的网络末端开始。
- 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- 每一步之后重新画电路。
- 重复直到端子之间只剩一个电阻。
RC 和 RL 暂态
- 时间常数
- τ = RC | τ = L/R
- 响应
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流下的电容
- 开路；vC 不能突变
- 直流下的电感
- 短路；iL 不能突变
- 稳态
- t ≈ 5τ
方法
- 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
- 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
- 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
- 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。
磁场与电磁感应
- 长直导线
- B = μ0I/(2πr)
- 平面线圈的中心
- B = μ0NI/(2R)
- 长螺线管
- B = μ0nI, n = N/L
- 常量
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 导线所受的力
- F = BIL·sin θ
- 电荷所受的力
- F = |q|vB·sin θ
- 圆周运动
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行导线
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁通量
- Φ = BA·cos θ
- 法拉第定律
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 运动的杆
- ε = BLv
- 发电机
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 电感
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 互感
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度选择器与质谱仪
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
方法
- 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
- 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
- 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
- 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。
交流阻抗和相量
- 阻抗
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角频率
- ω = 2πf
- 模和相角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 相量形式的欧姆定律
- V = I·Z
方法
- 换算频率：ω = 2πf。
- 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
- 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
- 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。
2练习题
1.库仑定律与电场中等
一个 +8 µC 的电荷与一个 −5 µC 的电荷相距 60 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 36 cm。求 P 点电场强度的大小 E。
q1 = +8 µCq2 = −5 µCr1 = 36 cmr2 = 24 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
两个质量均为 5 g 的相同小球用长 100 cm 的绝缘细线悬挂在同一点。让它们带上等量电荷后，每根细线稳定在与竖直方向成 20° 的位置。取 g = 9.81 m/s²。求每个小球所带的电荷量 q，以 nC 表示。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 5 gL = 100 cmθ = 20°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.串并联电阻中等
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 24 VR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 5 ΩR4 = 20 Ω
IR1 = A
4.串并联电阻困难
求电源输出并流过 R1 的电流 IR1。
V1 = 24 VR1 = 15 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩR4 = 5 ΩR5 = 5 ΩR6 = 15 Ω
IR1 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时的电流 i。
Vs = 24 VR = 100 ΩL = 47 mHt = 1 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
一个定时器在 t = 0 时开始用 5 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 4.5 V 时它必须触发，恰好在开始后 100 ms。 已知 C = 1 µF，求所需的电阻 R。
Vs = 5 VVth = 4.5 VT = 100 msC = 1 µF
R = kΩ
7.磁场与电磁感应中等
一根长 40 cm 的金属杆以 4 m/s 的速度沿两条导轨滑动，处于垂直进入纸面的 0.2 T 均匀磁场中。导轨之间接有 0.5 Ω 的电阻；杆和导轨的电阻可忽略。求使杆保持匀速运动所需的力 F（无摩擦）。
B = 0.2 TL = 40 cmv = 4 m/sR = 0.5 Ω
F = mN
8.磁场与电磁感应困难
在速度选择器中，正交的电场 E = 1 × 10⁴ V/m 和磁场 B = 0.4 T 只允许一种速率的离子直线通过。求该速率 v。
E = 1 × 10⁴ V/mB1 = 0.4 T
v = m/s
9.交流阻抗和相量中等
一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电路的功率因数 cos φ。
V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF
cos φ =
10.交流阻抗和相量困难
电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 100 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。
V = 100 V (rms)f = 60 HzR1 = 25 ΩR2 = 150 ΩC = 4.7 µF
I = A
3溶液
1.库仑定律与电场
答案: E = 1.335 × 10⁶ N/C
库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。
各电荷的电场
E1 = k·8 × 10⁻⁶/0.36² = 554938 N/C
E2 = k·5 × 10⁻⁶/0.24² = 780382 N/C
方向与合成
第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。
E = |554938 + 780382| = 1.335 × 10⁶ N/C
答案
E = 1.335 × 10⁶ N/C
2.库仑定律与电场
答案: q = 963.9 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
由平衡求电场力
拉力的水平分量平衡 F，竖直分量平衡 m·g。
F = m·g·tan θ = 0.005·9.81·tan 20° = 0.01785 N
间距
r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 20° = 0.684 m
电荷量
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.684·√(0.01785/8.99 × 10⁹) = 9.639 × 10⁻⁷ C = 963.9 nC
答案
q = 963.9 nC
3.串并联电阻
答案: IR1 = 1.869 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R3 + R4 = 5 + 20 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 6·25/(6+25) = 4.839 Ω
Req = R1 + 4.839 = 8 + 4.839 = 12.84 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 24/12.84 = 1.869 A
答案
IR1 = 1.869 A
4.串并联电阻
答案: IR1 = 1.45 A
串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。
从远端开始合并电阻
从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。
R5 + R6 = 5 + 15 = 20 Ω
R4 ∥ 20 = 4 Ω
R3 + 4 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 1.556 Ω
Req = R1 + 1.556 = 15 + 1.556 = 16.56 Ω
电源电流
电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。
IR1 = V1/Req = 24/16.56 = 1.45 A
答案
IR1 = 1.45 A
5.RC 和 RL 暂态
答案: i = 0.2114 A
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
时间常数和终值电流
开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。
τ = L/R = 47 mH / 100 Ω = 0.47 ms
i(∞) = Vs/R = 24/100 = 0.24 A
给定时刻的电流
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.24·(1 − e−1/0.47) = 0.2114 A
答案
i = 0.2114 A
6.RC 和 RL 暂态
答案: R = 43.43 kΩ
一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。
所需的时间常数
4.5 = 5·(1 − e−100/τ) → τ = 100/ln(5/(5 − 4.5))
τ = 100/2.303 = 43.43 ms
电阻
kΩ 乘以 µF 得到毫秒。
R = τ/C = 43.43/1 = 43.43 kΩ
答案
R = 43.43 kΩ
7.磁场与电磁感应
答案: F = 51.2 mN
电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。
动生电动势
ε = BLv = 0.2·0.4·4 = 0.32 V
电流
I = ε/R = 0.32/0.5 = 0.64 A
制动力
楞次定律：感应电流所受的力阻碍运动。
F = BIL = 0.2·0.64·0.4 = 0.0512 N
答案
F = 51.2 mN
8.磁场与电磁感应
答案: v = 25000 m/s
磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
选出的速率
不偏转：电力 qE 与磁力 qvB 平衡。
v = E/B1 = 1 × 10⁴/0.4 = 25000 m/s
答案
v = 25000 m/s
9.交流阻抗和相量
答案: cos φ = 0.1291
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XL = 31.42 Ω, XC = 338.6 Ω
阻抗
|Z| = √(40² + (−307.2)²) = 309.8 Ω
功率因数
cos φ = R/|Z| = 40/309.8 = 0.1291
电路是容性的，所以功率因数超前。
答案
cos φ = 0.1291
10.交流阻抗和相量
答案: I = 0.5908 A
相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。
电抗
XC = 1/(2π·60·4.7·10⁻⁶) = 564.4 Ω
并联组合
分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 140.1 − j37.24 Ω
总阻抗
Z = 25 + 140.1 − j37.24 = 165.1 − j37.24 Ω
|Z| = √(165.1² + 37.24²) = 169.3 Ω
电流
I = V/|Z| = 100/169.3 = 0.5908 A
答案
I = 0.5908 A
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