物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

一个 +3 µC 的电荷与一个 −2 µC 的电荷相距 60 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 36 cm。求 P 点电场强度的大小 E。

q₁ = +3 µCq₂ = −2 µCr₁ = 36 cmr₂ = 24 cm

E = N/C

2.库仑定律与电场困难

+4 µC 和 −4 µC 的两个电荷相距 8 cm。P 点位于两者连线的中垂线上，距中点 10 cm。求 P 点电场强度 E 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +4 µCq₂ = −4 µCd = 8 cmh = 10 cm

E = N/C

3.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 15 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

4.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 5 ms 时的电流 i。

V_s = 12 VR = 33 ΩL = 68 mHt = 5 ms

i = A

6.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 12 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 7.58 V 时它必须触发，恰好在开始后 200 ms。已知 R = 22 kΩ，求所需的电容 C。

V_s = 12 VV_th = 7.58 VT = 200 msR = 22 kΩ

C = µF

7.磁场与电磁感应中等

一个正方形回路向右运动，进入磁场方向为垂直进入纸面的均匀磁场区域。回路进入磁场时，点选图中所见的回路感应电流方向。

B: 垂直进入纸面进入磁场

1顺时针
2逆时针

8.磁场与电磁感应困难

一个 100 匝的短线圈紧紧绕在一个 2000 匝、长 40 cm、直径 2 cm 的长螺线管的中部。求它们的互感 M。

N₁ = 2000N₂ = 100l = 40 cm⌀ = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

M = µH

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、50 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 22 µF

I = A

10.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、200 Hz 的电源上。求电路的谐振频率 f₀。

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: E = 520255 N/C

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

各电荷的电场

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0.36² = 208102 N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0.24² = 312153 N/C

方向与合成

第一个电场背离正电荷，第二个电场指向负电荷：两者方向相同。

E = |208102 + 312153| = 520255 N/C

答案

E = 520255 N/C

2.库仑定律与电场

答案: E = 2.303 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

一个电荷的距离和电场

r = √(4² + 10²) = 10.77 cm

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0.1077² = 3.1 × 10⁶ N/C

分量

沿中垂线方向的分量抵消。

E = 2·E₁·(a/r) = 2·3.1 × 10⁶·0.3714 = 2.303 × 10⁶ N/C

答案

E = 2.303 × 10⁶ N/C

电场平行于两电荷连线，从正电荷指向负电荷。

3.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.8728 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 2 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 20·7/(20+7) = 5.185 Ω

R_eq = R₁ + 5.185 = 12 + 5.185 = 17.19 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/17.19 = 0.8728 A

答案

I_R1 = 0.8728 A

4.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.642 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 4 + 20 = 24 Ω

R₄ ∥ 24 = 10.91 Ω

R₃ + 10.91 = 40.91 Ω

R₂ ∥ 40.91 = 8.036 Ω

R_eq = R₁ + 8.036 = 20 + 8.036 = 28.04 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/28.04 = 0.642 A

答案

I_R1 = 0.642 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.3315 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 33 Ω = 2.061 ms

i(∞) = V_s/R = 12/33 = 0.3636 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.3636·(1 − e^−5/2.061) = 0.3315 A

答案

i = 0.3315 A

6.RC 和 RL 暂态

答案: C = 9.102 µF

所需的时间常数

7.58 = 12·(1 − e^−200/τ) → τ = 200/ln(12/(12 − 7.58))

τ = 200/0.9988 = 200.2 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 200.2/22 = 9.102 µF

答案

C = 9.102 µF

7.磁场与电磁感应

答案: 逆时针

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

磁通量的变化

进入纸面的磁通量增大，或穿出纸面的磁通量减小。

感应电流的磁场

感应电流阻碍这一变化。

回路内部的感应磁场：穿出纸面。

电流的方向

右手螺旋定则：逆时针电流在回路内部产生穿出纸面的磁场。

逆时针

答案

逆时针

8.磁场与电磁感应

答案: M = 197.4 µH

互感

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·2000·100·0.0003142/0.4 = 197.4 µH

答案

M = 197.4 µH

9.交流阻抗和相量

答案: I = 2.253 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.15 = 47.12 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−97.56)²) = 102.1 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 230/102.1 = 2.253 A

答案

I = 2.253 A

10.交流阻抗和相量

答案: f₀ = 71.18 Hz

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.05·100·10⁻⁶)) = 71.18 Hz

答案

f₀ = 71.18 Hz

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