物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

一个 +4 µC 的电荷与一个 +3 µC 的电荷相距 50 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 12.5 cm。求 P 点电场强度的大小 E。

q₁ = +4 µCq₂ = +3 µCr₁ = 12.5 cmr₂ = 37.5 cm

E = N/C

2.库仑定律与电场困难

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 10 µC 位于直角顶点，q₁ = 2 µC 沿一条直角边距它 8 cm，q₂ = 4 µC 沿另一条直角边距它 10 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q₁ = 2 µCq₂ = 4 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 18 VR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

4.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 6 VR₁ = 25 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 80%？求 t。

V_s = 6 VR = 10 ΩL = 100 mH

t = ms

6.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R₂ 短路。求 t = 5 ms 时的电感电流 i。

V_s = 10 VR₁ = 22 ΩR₂ = 20 ΩL = 47 mHt = 5 ms

i = A

7.磁场与电磁感应中等

一个电子在 2.5 mT 的均匀磁场中做圆周运动。求它转一圈所需的时间 T。

m = 9.109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CB = 2.5 mT

T = ns

8.磁场与电磁感应困难

一个长空心螺线管有 100 匝，长度为 30 cm，直径为 1 cm。当它通有 2.5 A 的电流时，求其磁场中储存的能量 W。

N = 100l = 30 cm⌀ = 1 cmI = 2.5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、60 Hz 的电源上。求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 47 µF

φ = °

10.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路的 R = 15 Ω，L = 1 mH，C = 0.047 µF。求其带宽 B（两个半功率频率之间的频带宽度），以 Hz 表示。

R = 15 ΩL = 1 mHC = 0.047 µF

B = Hz

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: E = 2.11 × 10⁶ N/C

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

各电荷的电场

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0.125² = 2.301 × 10⁶ N/C

E₂ = k·3 × 10⁻⁶/0.375² = 191787 N/C

方向与合成

两个电荷都是正的：在 P 点，它们的电场各自背离对应的电荷，因此方向相反。

E = |2.301 × 10⁶ − 191787| = 2.11 × 10⁶ N/C

答案

E = 2.11 × 10⁶ N/C

2.库仑定律与电场

答案: F = 45.63 N

q₃ 所受的各个力

F₁ = k·2·10 × 10⁻¹²/0.08² = 28.09 N

F₂ = k·4·10 × 10⁻¹²/0.1² = 35.96 N

矢量和

F = √(28.09² + 35.96²) = 45.63 N

答案

F = 45.63 N

3.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.5233 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 15 + 10 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 20·25/(20+25) = 11.11 Ω

R_eq = R₁ + 11.11 = 8 + 11.11 = 19.11 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/19.11 = 0.9419 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 0.9419·8 = 10.47 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10.47/20 = 0.5233 A

答案

I_R2 = 0.5233 A

4.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.0751 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 10 + 25 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 5.122 Ω

R₃ + 5.122 = 30.12 Ω

R₂ ∥ 30.12 = 15.03 Ω

R_eq = R₁ + 15.03 = 25 + 15.03 = 40.03 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/40.03 = 0.1499 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0.1499·25 = 2.253 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2.253/30 = 0.0751 A

答案

I_R2 = 0.0751 A

5.RC 和 RL 暂态

答案: t = 16.09 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 10 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 6/10 = 0.6 A

求解时间

0.8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.8)

t = −10·ln(0.2) = 16.09 ms

答案

t = 16.09 ms

6.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.4337 A

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 10/(22 + 20) = 0.2381 A

i(∞) = 10/22 = 0.4545 A

τ = L/R = 47/22 = 2.136 ms

i(t) = 0.4545 + (0.2381 − 0.4545)·e^−t/τ

给定时刻的电流

i(5) = 0.4545 + (−0.2165)·e^−5/2.136 = 0.4337 A

答案

i = 0.4337 A

7.磁场与电磁感应

答案: T = 14.29 ns

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

圆周运动的周期

更快的粒子沿更大的圆运动，所以每转一圈的时间保持不变。

T = 2πm/(|q|B) = 2π·9.109 × 10⁻³¹/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.0025) = 14.29 ns

答案

T = 14.29 ns

不需要速率：这就是回旋加速器可以使用一个固定频率的原因。

8.磁场与电磁感应

答案: W = 10.28 µJ

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

自感

L = μ₀N²A/l = 3.29 µH

储存的能量

W = ½LI² = ½·3.29 × 10⁻⁶·2.5² = 1.028 × 10⁻⁵ J = 10.28 µJ

答案

W = 10.28 µJ

9.交流阻抗和相量

答案: φ = −51.41 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0.05 = 18.85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56.44 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−37.59)²) = 48.09 Ω

相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−37.59/30) = −51.41°

答案

φ = −51.41°

10.交流阻抗和相量

答案: B = 2387 Hz

谐振频率

f₀ = 1/(2π·√(0.001·0.047·10⁻⁶)) = 23215 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0.001/(0.047·10⁻⁶)) = 9.724

带宽

B = f₀/Q = 23215/9.724 = 2387 Hz

答案

B = 2387 Hz

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