物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律
F = k·|q1q2|/r²
点电荷的电场
E = k·|q|/r²
常量
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力
F = q·E

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线
B = μ0I/(2πr)
平面线圈的中心
B = μ0NI/(2R)
长螺线管
B = μ0nI, n = N/L
常量
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力
F = BIL·sin θ
电荷所受的力
F = |q|vB·sin θ
圆周运动
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁通量
Φ = BA·cos θ
法拉第定律
ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆
ε = BLv
发电机
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
电感
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
互感
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度选择器与质谱仪
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

  1. 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
  2. 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
  3. 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
  4. 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等
++6 µC++4 µCE = 080 cm

+6 µC 和 +4 µC 的两个电荷相距 80 cm。在两者之间的连线上，距 +6 µC 电荷多远 x 处电场为零？

q1 = +6 µCq2 = +4 µCd = 80 cm
x = cm
2.库仑定律与电场困难
10 cm4 cm+q1​ = +1 µC+q3​ = +6 µC+q2​ = +5 µC

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 6 µC 位于直角顶点，q₁ = 1 µC 沿一条直角边距它 10 cm，q₂ = 5 µC 沿另一条直角边距它 4 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q1 = 1 µCq2 = 5 µCq3 = 6 µCr13 = 10 cmr23 = 4 cm
F = N
3.串并联电阻中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​6 ΩIR2​AR4​8 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 12 VR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 12 ΩR4 = 8 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
R1​ = 10 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩIR2​AR4​3 ΩBR6​6 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 9 VR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩR3 = 8 ΩR4 = 3 ΩR5 = 3 ΩR6 = 6 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​9 Vt = 0R = 20 ΩL68 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时的电流 i。

Vs = 9 VR = 20 ΩL = 68 mHt = 5 ms
i = A
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​15 Vt = 0R = 2.2 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 30 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 30 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 24 V？求 t。

Vs = 15 VR = 2.2 kΩC = 33 µFvC(0) = 30 V
t = ms
7.磁场与电磁感应中等
25 A8 Ad = 2 cmP

两根相距 2 cm 的长平行导线通有反方向的 25 A 和 8 A 电流。求位于它们正中间的 P 点处磁感应强度的大小 B。

I1 = 25 AI2 = 8 Ad = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.磁场与电磁感应困难
V = 2500 VB = 0.4 Tr = ?

一个质子从静止开始，经电势差 2500 V 加速后，垂直进入 0.4 T 的均匀磁场。求其在磁场中轨迹的半径 r。

m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 2500 VB = 0.4 T
r = cm
9.交流阻抗和相量中等
24 V200 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF
φ = °
10.交流阻抗和相量困难
VfR = 100 ΩL = 10 mHC = 0.047 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 100 Ω，L = 10 mH，C = 0.047 µF。 求其谐振时的品质因数 Q。

R = 100 ΩL = 10 mHC = 0.047 µF
Q =

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: x = 44.04 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

电场相等

6/x² = 4/(80 − x)²
(80 − x)/x = √(4/6) = 0.8165

位置

x = 80/(1 + 0.8165) = 44.04 cm

答案

x = 44.04 cm

零点总是更靠近较小的电荷。

2.库仑定律与电场

答案: F = 168.6 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F1 = k·1·6 × 10⁻¹²/0.1² = 5.394 N
F2 = k·5·6 × 10⁻¹²/0.04² = 168.6 N

矢量和

F = √(5.394² + 168.6²) = 168.6 N

答案

F = 168.6 N
3.串并联电阻

答案: IR2 = 0.7317 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 8 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​6 ΩAR4​8 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 12 + 8 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 6·20/(6+20) = 4.615 Ω
Req = R1 + 4.615 = 8 + 4.615 = 12.62 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 12/12.62 = 0.9512 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0.9512·8 = 4.39 V
IR2 = VA/R2 = 4.39/6 = 0.7317 A

答案

IR2 = 0.7317 A
4.串并联电阻

答案: IR2 = 0.2271 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 10 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​15 ΩAR4​3 ΩBR6​6 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 3 + 6 = 9 Ω
R4 ∥ 9 = 2.25 Ω
R3 + 2.25 = 10.25 Ω
R2 ∥ 10.25 = 6.089 Ω
Req = R1 + 6.089 = 10 + 6.089 = 16.09 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 9/16.09 = 0.5594 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0.5594·10 = 3.406 V
IR2 = VA/R2 = 3.406/15 = 0.2271 A

答案

IR2 = 0.2271 A
5.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.3466 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 20 Ω = 3.4 ms
i(∞) = Vs/R = 9/20 = 0.45 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.45·(1 − e−5/3.4) = 0.3466 A

答案

i = 0.3466 A
6.RC 和 RL 暂态

答案: t = 37.09 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 30 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 33 µF = 72.6 ms
vC(t) = 15 + (30 − 15)·e−t/τ

求解时间

24 = 15 + (15)·e−t/τ → e−t/τ = (24 − 15)/(30 − 15) = 0.6
t = τ·ln((30 − 15)/(24 − 15)) = 72.6·ln(1.667) = 37.09 ms

答案

t = 37.09 ms
7.磁场与电磁感应

答案: B = 660 µT

电流的磁场：在长直导线周围，磁感线是圆（右手螺旋定则），B = μ₀I/(2πr)。在 N 匝平面圆形线圈的中心，B = μ₀NI/(2R)。在长螺线管内部，磁场是均匀的，B = μ₀nI，其中 n = N/L 是每米匝数，与半径无关。μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A。使用国际单位制（米和安培），并把多个来源的磁场按矢量相加。

每根导线在 P 点的磁场

B1 = 2 × 10⁻⁷·25/0.01 = 500 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·8/0.01 = 160 µT

合并

B = B₁ + B₂ = 660 µT

答案

B = 660 µT
8.磁场与电磁感应

答案: r = 1.807 cm

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

加速后的速率

v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·2500/(1.673 × 10⁻²⁷)) = 691940 m/s

磁场中的半径

r = mv/(|q|B) = 0.01807 m = 1.807 cm

答案

r = 1.807 cm

合起来：r = √(2mV/|q|)/B，所以电荷相同的较重离子沿较大的圆运动；这就是分离同位素的方法。

9.交流阻抗和相量

答案: φ = 58.63 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.2 = 251.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·4.7·10⁻⁶) = 169.3 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (82.01)²) = 96.05 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(82.01/50) = 58.63°

答案

φ = 58.63°
10.交流阻抗和相量

答案: Q = 4.613

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.01·0.047·10⁻⁶)) = 7341 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0.01/(0.047·10⁻⁶)) = 4.613

答案

Q = 4.613

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