物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律
F = k·|q1q2|/r²
点电荷的电场
E = k·|q|/r²
常量
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力
F = q·E

串并联电阻

电阻串联
Req = R1 + R2 + …
电阻并联
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
两个电阻并联
Req = R1R2 / (R1 + R2)
欧姆定律
V = I·R
功率
P = V·I = I²R = V²/R

方法

  1. 从离端子最远的网络末端开始。
  2. 串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. 每一步之后重新画电路。
  4. 重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线
B = μ0I/(2πr)
平面线圈的中心
B = μ0NI/(2R)
长螺线管
B = μ0nI, n = N/L
常量
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力
F = BIL·sin θ
电荷所受的力
F = |q|vB·sin θ
圆周运动
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁通量
Φ = BA·cos θ
法拉第定律
ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆
ε = BLv
发电机
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
电感
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
互感
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度选择器与质谱仪
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

  1. 把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
  2. 选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
  3. 对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
  4. 方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等
++3 µC++2 µCP20 cm

一个 +3 µC 的电荷与一个 +2 µC 的电荷相距 20 cm。点 P 位于两者连线上，距第一个电荷 8 cm。求 P 点电场强度的大小 E。

q1 = +3 µCq2 = +2 µCr1 = 8 cmr2 = 12 cm
E = N/C
2.库仑定律与电场困难
3 cm4 cm+q1​ = +10 µC+q3​ = +6 µC+q2​ = +6 µC

三个正点电荷位于一个直角三角形的顶点上：q₃ = 6 µC 位于直角顶点，q₁ = 10 µC 沿一条直角边距它 3 cm，q₂ = 6 µC 沿另一条直角边距它 4 cm。求 q₃ 所受合静电力的大小 F。

q1 = 10 µCq2 = 6 µCq3 = 6 µCr13 = 3 cmr23 = 4 cm
F = N
3.串并联电阻中等
R1​ = 15 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩIR2​AR4​10 ΩB

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 15 VR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 6 ΩR4 = 10 Ω
IR2 = A
4.串并联电阻困难
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩIR2​AR4​8 ΩBR6​30 Ω

求流过 R2 的电流 IR2。

V1 = 12 VR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩR3 = 8 ΩR4 = 8 ΩR5 = 20 ΩR6 = 30 Ω
IR2 = A
5.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​9 Vt = 0R = 20 ΩL220 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时电感两端的电压 vL。

Vs = 9 VR = 20 ΩL = 220 mHt = 5 ms
vL = V
6.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​6 Vt = 0R = 2.2 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 12 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 12 V，极性如图所示。 求 t = 200 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 6 VR = 2.2 kΩC = 47 µFvC(0) = 12 Vt = 200 ms
vC = V
7.磁场与电磁感应中等
−v = 3 × 10⁶ m/sr = ?B = 2 mT

一个电子以 3 × 10⁶ m/s 的速度垂直于 2 mT 的均匀磁场运动。求其圆形轨迹的半径 r。

m = 9.109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 3 × 10⁶ m/sB = 2 mT
r = cm
8.磁场与电磁感应困难
Bn = 3600 rpm5 cm × 20 cmN = 200B = 0.5 T

一个 200 匝、5 cm × 20 cm 的线圈在 0.5 T 的均匀磁场中，以 3600 rpm 绕垂直于磁场的轴转动。求峰值电动势 E0。

N = 200A = 5 cm × 20 cmB = 0.5 Tn = 3600 rpm
E0 = V
9.交流阻抗和相量中等
12 V100 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 4.7 µFI

一个串联 RLC 电路接在 12 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求从电源吸取的有功功率 P。

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 4.7 µF
P = W
10.交流阻抗和相量困难
100 V50 HzR1​ = 50 ΩR2​ = 30 ΩC = 100 µFI

电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 100 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 100 V (rms)f = 50 HzR1 = 50 ΩR2 = 30 ΩC = 100 µF
I = A

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: E = 2.965 × 10⁶ N/C

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

各电荷的电场

E1 = k·3 × 10⁻⁶/0.08² = 4.214 × 10⁶ N/C
E2 = k·2 × 10⁻⁶/0.12² = 1.249 × 10⁶ N/C

方向与合成

两个电荷都是正的：在 P 点，它们的电场各自背离对应的电荷，因此方向相反。

E = |4.214 × 10⁶ − 1.249 × 10⁶| = 2.965 × 10⁶ N/C

答案

E = 2.965 × 10⁶ N/C
2.库仑定律与电场

答案: F = 632.5 N

库仑定律：两个点电荷之间的吸引力或排斥力为 F = k·|q₁·q₂|/r²，其中 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点电荷的电场为 E = k·|q|/r²，正电荷的电场背离电荷，负电荷的电场指向电荷。多个电荷产生的力和电场按矢量相加。

q₃ 所受的各个力

F1 = k·10·6 × 10⁻¹²/0.03² = 599.3 N
F2 = k·6·6 × 10⁻¹²/0.04² = 202.3 N

矢量和

F = √(599.3² + 202.3²) = 632.5 N

答案

F = 632.5 N
3.串并联电阻

答案: IR2 = 0.5634 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 15 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩAR4​10 ΩB

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R3 + R4 = 6 + 10 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 6·16/(6+16) = 4.364 Ω
Req = R1 + 4.364 = 15 + 4.364 = 19.36 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 15/19.36 = 0.7746 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 0.7746·15 = 3.38 V
IR2 = VA/R2 = 3.38/6 = 0.5634 A

答案

IR2 = 0.5634 A
4.串并联电阻

答案: IR2 = 0.2176 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

R1​ = 15 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAR4​8 ΩBR6​30 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R5 + R6 = 20 + 30 = 50 Ω
R4 ∥ 50 = 6.897 Ω
R3 + 6.897 = 14.9 Ω
R2 ∥ 14.9 = 8.538 Ω
Req = R1 + 8.538 = 15 + 8.538 = 23.54 Ω

电源电流

电源只看到 Req，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

IR1 = V1/Req = 12/23.54 = 0.5098 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0.5098·15 = 4.353 V
IR2 = VA/R2 = 4.353/20 = 0.2176 A

答案

IR2 = 0.2176 A
5.RC 和 RL 暂态

答案: vL = 5.713 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 220 mH / 20 Ω = 11 ms
i(∞) = Vs/R = 9/20 = 0.45 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 9·e−5/11 = 5.713 V

答案

vL = 5.713 V
6.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 6.867 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 12 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 47 µF = 103.4 ms
vC(t) = 6 + (12 − 6)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(200) = 6 + (6)·e−200/103.4 = 6.867 V

答案

vC = 6.867 V
7.磁场与电磁感应

答案: r = 0.8529 cm

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

力的平衡

磁力总是垂直于速度，所以它使轨迹弯曲成圆。

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

半径

r = 9.109 × 10⁻³¹·3 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.002) = 0.008529 m = 0.8529 cm

答案

r = 0.8529 cm
8.磁场与电磁感应

答案: E0 = 377 V

电磁感应：穿过回路的磁通量为 Φ = BA·cos θ，其中 θ 是 B 与回路法线之间的夹角。法拉第定律：磁通量的变化在 N 匝线圈中感应出电动势 emf = −N·dΦ/dt，楞次定律说明感应电流的方向使其自身的磁场阻碍这一变化。横切磁场运动的杆产生 emf = BLv。以角速度 ω 转动的线圈产生 e = NBAω·sin ωt，峰值为 NBAω。自感：emf = −L·di/dt，长螺线管的 L = μ₀N²A/l，储存的能量为 W = ½LI²。两个耦合线圈：emf₂ = −M·di₁/dt，其中 M = k√(L₁L₂)。

角速度与面积

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s
A = 0.01 m²

峰值电动势

E₀ = NBAω = 200·0.5·0.01·377 = 377 V

答案

E0 = 377 V
9.交流阻抗和相量

答案: P = 0.09393 W

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = 94.25 Ω, XC = 338.6 Ω

阻抗

|Z| = √(40² + (−244.4)²) = 247.6 Ω

有功功率

电感和电容只储存和释放能量；全部有功功率都由电阻吸收。

I = 12/247.6 = 0.04846 A
P = I²·R = 0.04846²·40 = 0.09393 W

答案

P = 0.09393 W
10.交流阻抗和相量

答案: I = 1.48 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(2π·50·100·10⁻⁶) = 31.83 Ω

并联组合

分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 15.89 − j14.97 Ω

总阻抗

Z = 50 + 15.89 − j14.97 = 65.89 − j14.97 Ω
|Z| = √(65.89² + 14.97²) = 67.57 Ω

电流

I = V/|Z| = 100/67.57 = 1.48 A

答案

I = 1.48 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism