物理（二）：电磁学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

库仑定律与电场

库仑定律: F = k·|q₁q₂|/r²
点电荷的电场: E = k·|q|/r²
常量: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
电荷所受的力: F = q·E

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

磁场与电磁感应

长直导线: B = μ₀I/(2πr)
平面线圈的中心: B = μ₀NI/(2R)
长螺线管: B = μ₀nI, n = N/L
常量: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
导线所受的力: F = BIL·sin θ
电荷所受的力: F = |q|vB·sin θ
圆周运动: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行导线: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁通量: Φ = BA·cos θ
法拉第定律: ε = −N·ΔΦ/Δt
运动的杆: ε = BLv
发电机: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
电感: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
互感: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度选择器与质谱仪: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

方法

把每个量都换算成国际单位制：cm 换成 m，cm² 换成 m²，mT 和 µT 换成 T。
选对公式：导线用 B = μ₀I/(2πr)，线圈中心用 μ₀NI/(2R)，螺线管内部用 μ₀nI；力用 F = BIL·sin θ 或 |q|vB·sin θ。
对于感应，求出磁通量的变化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)，使用 ε = N·ΔΦ/Δt；运动的杆用 ε = BLv，旋转的线圈用 NBAω。
方向要分别用右手定则确定，感应电流则用楞次定律。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

2练习题

1.库仑定律与电场中等

两个相同的金属小球分别带有 −1 µC 和 −8 µC 的电荷。让它们接触后再放回相距 25 cm 处。求此时它们之间作用力 F 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −1 µCq₂ = −8 µCr = 25 cm

F = N

2.库仑定律与电场困难

+10 µC 和 −10 µC 的两个电荷相距 8 cm。P 点位于两者连线的中垂线上，距中点 10 cm。求 P 点电场强度 E 的大小。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +10 µCq₂ = −10 µCd = 8 cmh = 10 cm

E = N/C

3.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 30 VR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

4.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 25 Ω

R_eq = Ω

5.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

V_s = 24 VR = 22 ΩL = 22 mHt = 1 ms

W = mJ

6.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R₂ 短路。求 t = 5 ms 时的电感电流 i。

V_s = 20 VR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩL = 68 mHt = 5 ms

i = A

7.磁场与电磁感应中等

一个电子在 2 mT 的均匀磁场中做圆周运动。求它转一圈所需的时间 T。

m = 9.109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CB = 2 mT

T = ns

8.磁场与电磁感应困难

一个 α 粒子不发生偏转地通过正交电场 E = 1 × 10⁵ V/m 和磁场 B₁ = 0.1 T 的速度选择器。然后它垂直进入只有磁场 B₂ = 0.2 T 的第二个区域。求它在该区域中轨迹的半径 r。

E = 1 × 10⁵ V/mB₁ = 0.1 TB₂ = 0.2 Tm = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、50 Hz 的电源上。求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 2.2 µF

φ = °

10.交流阻抗和相量困难

一个 RLC 串联电路的 R = 5 Ω，L = 5 mH，C = 0.1 µF。求其谐振时的品质因数 Q。

R = 5 ΩL = 5 mHC = 0.1 µF

Q =

3溶液

1.库仑定律与电场

答案: F = 2.913 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

接触后的电荷

q′ = (−1 + −8)/2 = −4.5 µC

新的作用力

F = 8.99 × 10⁹·(4.5 × 10⁻⁶)²/0.25² = 2.913 N

答案

F = 2.913 N

现在两个小球带同种电荷，所以相互排斥。

2.库仑定律与电场

答案: E = 5.757 × 10⁶ N/C

一个电荷的距离和电场

r = √(4² + 10²) = 10.77 cm

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0.1077² = 7.75 × 10⁶ N/C

分量

沿中垂线方向的分量抵消。

E = 2·E₁·(a/r) = 2·7.75 × 10⁶·0.3714 = 5.757 × 10⁶ N/C

答案

E = 5.757 × 10⁶ N/C

电场平行于两电荷连线，从正电荷指向负电荷。

3.串并联电阻

答案: R_eq = 7 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 4 + 4 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 8·8/(8+8) = 4 Ω

R_eq = R₁ + 4 = 3 + 4 = 7 Ω

答案

R_eq = 7 Ω

4.串并联电阻

答案: R_eq = 9.711 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 25 + 25 = 50 Ω

R₄ ∥ 50 = 16.67 Ω

R₃ + 16.67 = 41.67 Ω

R₂ ∥ 41.67 = 6.711 Ω

R_eq = R₁ + 6.711 = 3 + 6.711 = 9.711 Ω

答案

R_eq = 9.711 Ω

5.RC 和 RL 暂态

答案: W = 5.231 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 22 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 24/22 = 1.091 A

给定时刻的电流

i(t) = 1.091·(1 − e^−1/1) = 0.6896 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·22·0.6896² = 5.231 mJ

答案

W = 5.231 mJ

6.RC 和 RL 暂态

答案: i = 1.223 A

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 20/(15 + 5) = 1 A

i(∞) = 20/15 = 1.333 A

τ = L/R = 68/15 = 4.533 ms

i(t) = 1.333 + (1 − 1.333)·e^−t/τ

给定时刻的电流

i(5) = 1.333 + (−0.3333)·e^−5/4.533 = 1.223 A

答案

i = 1.223 A

7.磁场与电磁感应

答案: T = 17.86 ns

磁力：在磁场 B 中通有电流 I 的直导线受到的力为 F = BIL·sin θ，运动电荷受到的力为 F = |q|vB·sin θ，其中 θ 是电流（或速度）与 B 之间的夹角。力垂直于两者：右手四指沿 I 或 v 的方向，向 B 的方向弯曲，拇指指向正电荷所受的力 F；对负电荷则方向相反。因为 F 垂直于 v，穿过均匀磁场运动的电荷做圆周运动：|q|vB = mv²/r 给出 r = mv/(|q|B)，周期 T = 2πm/(|q|B)，与速率无关。两根平行导线的电流同向时相互吸引：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

圆周运动的周期

更快的粒子沿更大的圆运动，所以每转一圈的时间保持不变。

T = 2πm/(|q|B) = 2π·9.109 × 10⁻³¹/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.002) = 17.86 ns

答案

T = 17.86 ns

不需要速率：这就是回旋加速器可以使用一个固定频率的原因。

8.磁场与电磁感应

答案: r = 10.37 cm

选出的速率

不偏转：电力 qE 与磁力 qvB 平衡。

v = E/B₁ = 1 × 10⁵/0.1 = 1 × 10⁶ m/s

第二个磁场中的半径

r = mv/(|q|B₂) = 0.1037 m = 10.37 cm

答案

r = 10.37 cm

9.交流阻抗和相量

答案: φ = −86.73 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.15 = 47.12 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·2.2·10⁻⁶) = 1447 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−1400)²) = 1402 Ω

相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−1400/80) = −86.73°

答案

φ = −86.73°

10.交流阻抗和相量

答案: Q = 44.72

谐振频率

f₀ = 1/(2π·√(0.005·0.1·10⁻⁶)) = 7118 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0.005/(0.1·10⁻⁶)) = 44.72

答案

Q = 44.72

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